Сложно встретить старшеклассника, НЕ умеющего находить корни квадратного уравнения через дискриминант.
Но, к сожалению, в отдельных случаях, получая громоздкий дискриминант, многие начинают паниковать (без калькулятора).
А на ЕГЭ по математике, например, в задачах №11, вам вполне может встретиться причудливый дискриминант.
Нет безвыходных ситуаций!
На чем можно сэкономить силы при вычислении дискриминанта
Прежде чем разбирать примеры, вспомним все же формулу дикриминанта $D$ для вычисления корней квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$
$\color{red}D=b^2-4ac$
Тогда корни уравнения находим по формуле
$\color{red}x=\frac{-b\pm \sqrt D}{2a}$
Надеюсь, вы помните, что удобно искать корни уравнения через дискриминант в случае, если имеем дело с полным квадратным уравнением ($b$ и $c$ – ненулевые).
Как решать неполные квадратные уравнения мы уже говорили.
I. Используем формулу «разность квадратов» + показать
Допустим, нам нужно решить уравнение $x^2-53x+196=0.$
Ясно, что дискриминант следующий: $D=53^2-4\cdot 196.$
Не спешим возводить 53 в квадрат! Замечаем, что $196=14^2$, поэтому
$D=53^2-(2\cdot 14)^2=53^2-28^2=(53-28)(53+28)=25\cdot 81=(5\cdot 9)^2=45^2.$
Корни данного уравнения, думаю, теперь каждый из вас найдет без труда…
II. Используем прием вынесения общего множителя за скобки + показать
Допустим, нам нужно решить уравнение $2x^2-105x-6750=0$ (кстати, оно взято из реальной текстовой задачи из открытого банка заданий ЕГЭ по математике).
Ясно, что дискриминант следующий: $D=105^2+4\cdot 2\cdot 6750.$
Нет, мы не пойдем напролом!
Замечаем, что $105^2=3^2\cdot 5^2\cdot 7^2$, а $4\cdot 2\cdot 6750=2^4\cdot 3^3\cdot 5^3$.
Мы можем вынести за скобку общий множитель $3^2\cdot 5^2:$
$D=3^2\cdot 5^2(49+240)=15^2\cdot 289=15^2\cdot 17^2=255^2.$
Корни найти – уже не проблема…
III. Формула сокращенного дискриимнанта + показать
Допустим, нам нужно решить уравнение $x^2+60x-1125=0.$
Вы знаете, что такое $\frac{D}{4}$?
Его очень удобно применять в случае четности второго коэффициента (при $x$).
Вот формулы дискриминанта и корней в этом случае:
для уравнения $ax^2+bx+c=0$, где $b$ – четное
$\color{red}\frac{D}{4}=(\frac{b}{2})^2-ac;$
$\color{red}x=\frac{-\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{D}{4}}}{a}.$
$\frac{D}{4}=30^2+1125=2025=45^2.$
Тогда корни следующие: $x=-30\pm45$, то есть $x=15$ или $x=-75.$
Хоть на чуть-чуть, но упростили вычисления. Считаете, что неоправданно, – лишней формулой забивать голову… Выбор за вами.
IV. Вместо дискриминанта – т. Виета [spoiler]
Допустим, нам нужно решить уравнение $x^2-999x-1000=0.$
Вспоминаем теорему Виета:
Для приведенного квадратного уравнения (т.е. такого, коэффициент при $x^2$ в котором равен единице) $x^2+px+q=0$ сумма корней равна коэффициенту $p$, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену $q$, то есть $x_1+x_2=-p$, $x_1\cdot x_2=q.$
Так вот, очевидно, на роль корней уравнения $x^2-999x-1000=0$ претендуют числа $-1$ и $1000$, так как $-1+1000=999$ и $-1\cdot 1000=-1000.$
Здравствуйте, Елена Юрьевна! Умница! Вот бы еще детки при решениии задач применяли весь этот полезный материал.
Да, Ирина, хорошо тем, у кого на уроках всякий раз учитель применяет сокращенный дискриминант или т. Виета, то есть применение разных подходов – норма. А как часто встречаешь сопротивление, когда впервый раз показываешь, например, формулу сокращенного дискриминанта… Машут на нее рукой, – ну действительно, – «что-то, а уж дискриминант-то я смогу посчитать, не буду сейчас напрягаться, пожалуй,.. жил как-то без этой формулы и дальше проживу» – думают…
Совершенно верно. Я пытаюсь сразу после дискриминантов и т.Виета научить детей решать квадратные уравнения, используя свойства коэффициентов и метода “переброски”. Так вот умненькие ребята потом через дискриминант вообще решать не хотят…, приходится иногда навязывать, чтобы совсем не забыли. Вобщем выкручиваемся каждый как может, самое главное, чтобы с пользой для дела. Мы с Вами прямо единомышленники. Я так рада, что у меня появилась возможность пообщаться с Вами. И, ни сколько не стыжусь этого, чему то у Вас поучиться. С глубоким уважением, Ирина.
Ирина, я очень рада, что вы заглядываете на сайт!
Мы каждый день у кого-то чему-то учимся… Плох тот учитель, который сам не является учеником в чем-то… ;)
Здравствуйте
Можно ли поподробнее(а лучше на примерах)еще раз рассказать, как решать квадратные уравнения, используя свойства коэффициентов и метода “переброски”?
Спасибо)
Можно-то можно… Но… пока нет на это времени…
Оу
Очень часто использую метод коэффициентов и ребятам очень нравится. Если сумма равна 0, то первый корень 1, а второй с/а, а если а+с = в, то первый корень -1 , а второй -с/а. Жаль, что перед экзаменами ребята забывают эти приёмы, а особенно т.Виета и второй чётный коэффициент.
Элеонора, да хороший метод, спасибо. Для тех, кто читает комментарии, дополню его примерами:
1) [latexpage] Один из корней уравнения $x^2+x-2=0$ – это 1 (сумма коэффициетов равна нулю, второй $-\frac{2}{1}$, то есть -2).
2) В уравнении $x^2+6x+5=0$
$a+c=b$, тогда один из корней $-1$, второй $-5.$
Здравствуйте!
Ученики могут не понять, в чем ключевое отличие решения этих примеров от теоремы Виета.
Более яркие случаи: [latexpage]
$2x^2-7x+5=0$, $3x^2+7x+10=0$
Илья, второе уравнение точно решается с помощью коэффициентов?
3+10 не равно 7.
Да, конечно -10
Поторопился, видимо
Они различны по скобкам в виду паралитического анализа сложного коэффициента прикладного курса алгебры седьмого класса,надо было летом учить!
Извините,подскажете?
1)в каких случаях используется теорема Виета?
2)пример-уравнение с применением т.Виета(очень важно)
3)как использовать дискриминант с чётным b-коэффициентом?
4)есть ли различия между обычным дискриминантом и дискриминантом,который используется при чётном b-коэффициенте?(здесь меня интересует:будут ли совпадать ответы,если я возьму уравнение,к примеру,с чётным b-коэффициентом и решу его не по чётному дискриминанту,а по обычному?)
1) Теорема Виета применима для приведенного квадратного уравнения (то есть коэффициент при старшей переменной – 1).
2) [latexpage]$x^2-5x+6=0$. Произведение корней равно $6,$ сумма $5$. Подбираем такие числа. Это $2$ и $3$.
3)-4) Каким бы способом ни решали, ответы, конечно, должны совпадать.
Пример.
$x^2-6x+5=0;$
$D/4=3^2-1\cdot 5=4;$
$x=3\pm 2.$
Елена Юрьевна! В первом уравнении второй корень -2.
Лидия, я не поняла… Где-то ошибка?
Мне тоже кажется Лидия права, второй корень -2. Так как с=-2.
Да, конечно! Спасибо. Очепятка…