Об отдельных случаях вычисления дискриминанта

Допустим, нам нужно решить уравнение  $x^2-53x+196=0.$

Ясно, что дискриминант следующий: $D=53^2-4\cdot 196.$

Не спешим возводить 53 в квадрат! Замечаем, что $196=14^2$, поэтому

$D=53^2-(2\cdot 14)^2=53^2-28^2=(53-28)(53+28)=25\cdot 81=(5\cdot 9)^2=45^2.$

Корни данного уравнения, думаю, теперь каждый из вас найдет без труда…

Допустим, нам нужно решить уравнение $2x^2-105x-6750=0$ (кстати, оно взято из реальной текстовой задачи из открытого банка заданий ЕГЭ по математике).

Ясно, что дискриминант следующий: $D=105^2+4\cdot 2\cdot 6750.$

Нет, мы не пойдем напролом!

Замечаем, что $105^2=3^2\cdot 5^2\cdot 7^2$, а $4\cdot 2\cdot 6750=2^4\cdot 3^3\cdot 5^3$.

Мы можем вынести за скобку общий множитель $3^2\cdot 5^2:$

$D=3^2\cdot 5^2(49+240)=15^2\cdot 289=15^2\cdot 17^2=255^2.$

Корни найти – уже не проблема…

Допустим, нам нужно решить уравнение $x^2+60x-1125=0.$

Вы знаете, что такое $\frac{D}{4}$?

Его очень удобно применять в случае четности второго коэффициента (при $x$).

Вот формулы дискриминанта и корней в этом случае:

для уравнения $ax^2+bx+c=0$, где $b$ – четное

$\color{red}\frac{D}{4}=(\frac{b}{2})^2-ac;$

$\color{red}x=\frac{-\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{D}{4}}}{a}.$

$\frac{D}{4}=30^2+1125=2025=45^2.$

Тогда корни следующие: $x=-30\pm45$, то есть $x=15$ или $x=-75.$

Хоть на чуть-чуть, но упростили вычисления. Считаете, что неоправданно, – лишней формулой забивать голову… Выбор за вами.

IV. Вместо дискриминанта – т. Виета [spoiler]

Допустим, нам нужно решить уравнение $x^2-999x-1000=0.$

Вспоминаем  теорему  Виета:

Для приведенного квадратного уравнения (т.е. такого, коэффициент при $x^2$ в котором равен единице) $x^2+px+q=0$  сумма корней равна коэффициенту $p$, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену $q$, то есть $x_1+x_2=-p$, $x_1\cdot x_2=q.$

Так вот, очевидно, на роль корней уравнения $x^2-999x-1000=0$ претендуют числа $-1$ и $1000$, так как $-1+1000=999$ и $-1\cdot 1000=-1000.$