Об отдельных случаях вычисления дискриминанта

2014-02-06

Сложно встретить старшеклассника, НЕ умеющего находить корни квадратного уравнения через дискриминант.

Но, к сожалению, в отдельных случаях, получая громоздкий дискриминант,  многие начинают паниковать (без калькулятора).

А на ЕГЭ по математике, например, в задачах категории В14, вам вполне может встретиться причудливый дискриминант.

Нет безвыходных ситуаций!

На чем можно сэкономить силы при вычислении дискриминанта

 

Прежде чем разбирать примеры, вспомним все же  формулу дикриминанта D для вычисления корней квадратного уравнения  ax^2+bx+c=0

D=b^2-4ac

Тогда корни  уравнения находим по формуле

x=\frac{-b\pm \sqrt D}{2a}

Надеюсь, вы помните, что удобно искать корни уравнения через дискриминант в случае, если имеем дело с полным  квадратным уравнением (b и c – ненулевые).

Как решать неполные квадратные уравнения мы уже говорили.

1) Используем формулу «разность квадратов».

Допустим, нам нужно решить уравнение  x^2-53x+196=0.

Ясно, что дискриминант следующий: D=53^2-4\cdot 196.

Не спешим возводить 53 в квадрат! Замечаем, что 196=14^2, поэтому

D=53^2-(2\cdot 14)^2=53^2-28^2=(53-28)(53+28)=25\cdot 81=(5\cdot 9)^2=45^2.

Корни данного уравнения, думаю, теперь каждый из вас найдет без труда…

2) Используем прием вынесения общего множителя за скобки.

Допустим, нам нужно решить уравнение 2x^2-105x-6750=0 (кстати, оно взято из реальной текстовой задачи из открытого банка заданий ЕГЭ по математике).

Ясно, что дискриминант следующий: D=105^2+4\cdot 2\cdot 6750.

Нет, мы не пойдем напролом!

Замечаем, что 105^2=3^2\cdot 5^2\cdot 7^2, а 4\cdot 2\cdot 6750=2^4\cdot 3^3\cdot 5^3.

Мы можем вынести за скобку общий множитель 3^2\cdot 5^2:

D=3^2\cdot 5^2(49+240)=15^2\cdot 289=15^2\cdot 17^2=255^2.

Корни найти – уже не проблема…

3) Формула сокращенного дискриимнанта.

Допустим, нам нужно решить уравнение x^2+60x-1125=0.

Вы знаете, что такое \frac{D}{4}? + показать

\frac{D}{4}=30^2+1125=2025=45^2.

Тогда корни следующие: x=-30\pm45, то есть x=15 или x=-75.

Хоть на чуть-чуть, но упростили вычисления. Считаете, что неоправданно, – лишней формулой забивать голову… Выбор за вами.

4) Вместо дискриминанта – т. Виета.

Допустим, нам нужно решить уравнение x^2-999x-1000=0.

Вспоминаем  теорему  Виета:

Для приведенного квадратного уравнения (т.е. такого, коэффициент при x^2 в котором равен единице) x^2+px+q=0  сумма корней равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q, то есть x_1+x_2=-p, x_1\cdot x_2=q.

Так вот, очевидно, на роль корней уравнения x^2-999x-1000=0 претендуют числа -1 и 1000, так как -1+1000=999 и -1\cdot 1000=-1000.

Вот, пожалуй, все основные случае, где можно сэкономить время и силы при решении квадратного уравнения, о которых я хотела рассказать.

За улыбкой –> + показать

Печать страницы
Комментариев: 17
  1. Ирина

    Здравствуйте, Елена Юрьевна! Умница! Вот бы еще детки при решениии задач применяли весь этот полезный материал.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, Ирина, хорошо тем, у кого на уроках всякий раз учитель применяет сокращенный дискриминант или т. Виета, то есть применение разных подходов – норма. А как часто встречаешь сопротивление, когда впервый раз показываешь, например, формулу сокращенного дискриминанта… Машут на нее рукой, – ну действительно, – «что-то, а уж дискриминант-то я смогу посчитать, не буду сейчас напрягаться, пожалуй,.. жил как-то без этой формулы и дальше проживу» – думают…

      [ Ответить ]
      • Ирина

        Совершенно верно. Я пытаюсь сразу после дискриминантов и т.Виета научить детей решать квадратные уравнения, используя свойства коэффициентов и метода “переброски”. Так вот умненькие ребята потом через дискриминант вообще решать не хотят…, приходится иногда навязывать, чтобы совсем не забыли. Вобщем выкручиваемся каждый как может, самое главное, чтобы с пользой для дела. Мы с Вами прямо единомышленники. Я так рада, что у меня появилась возможность пообщаться с Вами. И, ни сколько не стыжусь этого, чему то у Вас поучиться. С глубоким уважением, Ирина.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Ирина, я очень рада, что вы заглядываете на сайт!
          Мы каждый день у кого-то чему-то учимся… Плох тот учитель, который сам не является учеником в чем-то… ;)

          [ Ответить ]
    • умный

      Оу

      [ Ответить ]
  2. Элеонора

    Очень часто использую метод коэффициентов и ребятам очень нравится. Если сумма равна 0, то первый корень 1, а второй с/а, а если а+с = в, то первый корень -1 , а второй -с/а. Жаль, что перед экзаменами ребята забывают эти приёмы, а особенно т.Виета и второй чётный коэффициент.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Элеонора, да хороший метод, спасибо. Для тех, кто читает комментарии, дополню его примерами:
      1) Один из корней уравнения x^2+x-2=0 – это 1 (сумма коэффициетов равна нулю, второй -\frac{2}{1}, то есть -2).
      2) В уравнении x^2+6x+5=0
      a+c=b, тогда один из корней -1, второй -5.

      [ Ответить ]
      • Илья

        Здравствуйте!
        Ученики могут не понять, в чем ключевое отличие решения этих примеров от теоремы Виета.
        Более яркие случаи:
        2x^2-7x+5=0, 3x^2+7x+10=0

        [ Ответить ]
        • Людмила

          Илья, второе уравнение точно решается с помощью коэффициентов?
          3+10 не равно 7.

          [ Ответить ]
          • Илья

            Да, конечно -10
            Поторопился, видимо

            [ Ответить ]
        • умный

          Они различны по скобкам в виду паралитического анализа сложного коэффициента прикладного курса алгебры седьмого класса,надо было летом учить!

          [ Ответить ]
          • умный

            Извините,подскажете?
            1)в каких случаях используется теорема Виета?
            2)пример-уравнение с применением т.Виета(очень важно)
            3)как использовать дискриминант с чётным b-коэффициентом?
            4)есть ли различия между обычным дискриминантом и дискриминантом,который используется при чётном b-коэффициенте?(здесь меня интересует:будут ли совпадать ответы,если я возьму уравнение,к примеру,с чётным b-коэффициентом и решу его не по чётному дискриминанту,а по обычному?)

            [ Ответить ]
          • egeMax

            1) Теорема Виета применима для приведенного квадратного уравнения (то есть коэффициент при старшей переменной – 1).
            2) x^2-5x+6=0. Произведение корней равно 6, сумма 5. Подбираем такие числа. Это 2 и 3.
            3)-4) Каким бы способом ни решали, ответы, конечно, должны совпадать.
            Пример.
            x^2-6x+5=0;
            D/4=3^2-1\cdot 5=4;
            x=3\pm 2.

            [ Ответить ]
      • Лидия

        Елена Юрьевна! В первом уравнении второй корень -2.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Лидия, я не поняла… Где-то ошибка?

          [ Ответить ]
          • Людмила

            Мне тоже кажется Лидия права, второй корень -2. Так как с=-2.

            [ Ответить ]
        • egeMax

          Да, конечно! Спасибо. Очепятка…

          [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif