Разбор заданий части С
(разбор заданий 1-12, также №13; №15; №16; №17; №18; №19)
16. Точки и
— середины рёбер
и
куба
соответственно.
а) Докажите, что прямые и
перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку и
перпендикулярной прямой , если ребро куба равно
.
Решение:
a) Пусть – середина
– середина
В силу того, что
угол между прямыми
– угол между прямыми
Покажем, что что будет говорить о том, что
а значит и
Пусть сторона куба –
Из треугольника
Из треугольника
Из треугольника
Из треугольника
Из треугольника
Наконец, замечаем, (
).
б) Пусть – середина
Тогда
(также как и
например), перпендикулярна плоскости
а значит и любой прямой в ней, в частности,
Итак, и
(из п.а). Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости
перпендикулярна
Cечение куба плоскостью – параллелограмм
. Более того, параллелограмм
– прямоугольник (проекция
наклонной
перпендикулярна
значит по теореме о трех перпендикулярах и
).
Ответ:
Добавить комментарий