Тренировочная работа от 26.01.2017. Часть С, №14

2017-02-01

Разбор заданий части С
(разбор заданий 1-12, также №13№15№16№17№18№19)

16. Точки P и Q — середины рёбер AD и CC_1 куба ABCDA_1B_1C_1D_1 соответственно.

а) Докажите, что прямые B_1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и

перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 4.

Решение:

a) Пусть M – середина  DD_1,  N – середина MD. В силу того, что AM\parallel BQ,  AM\parallel PN, угол между прямыми B_1P,BQ – угол между прямыми B_1P,PN.

Покажем, что B_1N^2=B_1P^2+PN^2,  что  будет говорить о том, что B_1P\perp PN, а значит и B_1P\perp BQ.

Пусть сторона куба – 4x.

Из треугольника ABP:  BP^2=16x^2+4x^2=20x^2.

Из треугольника B_1BP:  B_1P^2=16x^2+20x^2=36x^2.

Из треугольника PND:  PN^2=4x^2+x^2=5x^2.

Из треугольника B_1C_1D1:  B_1D_1^2=16x^2+16x^2=32x^2.

Из треугольника B_1ND_1:  B_1N^2=9x^2+32x^2=41x^2.

Наконец, замечаем, B_1N^2=B_1P^2+PN^2  (41x^2=36x^2+5x^2).

б) Пусть T – середина BC. Тогда PT (также как и AB, например), перпендикулярна плоскости BB_1C_1, а значит и любой прямой в ней, в частности, BQ.

Итак, BQ\perp PT и BQ\perp B_1P (из п.а). Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости BQ перпендикулярна PTB_1.

Cечение куба плоскостью PTB_1 – параллелограмм PTB_1A_1. Более того, параллелограмм PTB_1A_1 – прямоугольник (проекция AP наклонной A_1P перпендикулярна PT, значит по теореме о трех перпендикулярах и A_1P\perp PT).

S_{PTB_1A_1}=PT\cdot A_1P=4\cdot \sqrt{2^2+4^2}=8\sqrt5.

Ответ: 8\sqrt5.

 

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

11 − 3 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif