Тренировочная работа от 26.01.2017. Часть С, №14

Разбор заданий части С
(разбор заданий 1-12, также №13; №15; №16; №17; №18; №19)

16. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $AD$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $B_1P$ и $QB$ перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку $P$ и

перпендикулярной прямой $BQ$, если ребро куба равно $4$.

Решение:

a) Пусть $M$ – середина  $DD_1,$  $N$ – середина $MD.$ В силу того, что $AM\parallel BQ,$  $AM\parallel PN,$ угол между прямыми $B_1P,BQ$ – угол между прямыми $B_1P,PN.$

Покажем, что $B_1N^2=B_1P^2+PN^2,$  что  будет говорить о том, что $B_1P\perp PN,$ а значит и $B_1P\perp BQ.$

Пусть сторона куба – $4x.$

Из треугольника $ABP:$  $BP^2=16x^2+4x^2=20x^2.$

Из треугольника $B_1BP:$  $B_1P^2=16x^2+20x^2=36x^2.$

Из треугольника $PND:$  $PN^2=4x^2+x^2=5x^2.$

Из треугольника $B_1C_1D1:$  $B_1D_1^2=16x^2+16x^2=32x^2.$

Из треугольника $B_1ND_1:$  $B_1N^2=9x^2+32x^2=41x^2.$

Наконец, замечаем, $B_1N^2=B_1P^2+PN^2$  ($41x^2=36x^2+5x^2$).

б) Пусть $T$ – середина $BC.$ Тогда $PT$ (также как и $AB,$ например), перпендикулярна плоскости $BB_1C_1,$ а значит и любой прямой в ней, в частности, $BQ.$

Итак, $BQ\perp PT$ и $BQ\perp B_1P$ (из п.а). Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $BQ$ перпендикулярна $PTB_1.$

Cечение куба плоскостью $PTB_1$ – параллелограмм $PTB_1A_1$. Более того, параллелограмм $PTB_1A_1$ – прямоугольник (проекция $AP$ наклонной $A_1P$ перпендикулярна $PT,$ значит по теореме о трех перпендикулярах и $A_1P\perp PT$).

$S_{PTB_1A_1}=PT\cdot A_1P=4\cdot \sqrt{2^2+4^2}=8\sqrt5.$

Ответ: $8\sqrt5.$