Задание №17 (С3) из Тренировочной работы №86 А. Ларина

Решите неравенство: $log_{\frac{x^2-18x+91}{90}}(5x-\frac{3}{10})\leq0.$

Решение: 

Решать неравенство  будем методом рационализации.

Исходное неравенство равносильно следующей системе:

$\begin{cases}(\frac{x^2-18x+91}{90}-1)(5x-\frac{3}{10}-1)\leq 0,\\{\frac{x^2-18x+91}{90}}>0,\\{\frac{x^2-18x+91}{90}}\neq 1,\\5x-\frac{3}{10}>0;&\end{cases}$

Далее

$\begin{cases}(x^2-18x+1)(5x-\frac{13}{10})\leq 0,\\x^2-18x+91>0,\\x^2-18x+91\neq 90,\\x>\frac{3}{50};&\end{cases}$

Вторую строку системы  (выше) убираем, – неравенство верно при любых значениях $x$.

$\begin{cases}(x^2-18x+1)(x-\frac{13}{50})\leq 0,\\x^2-18x+1\neq 0,\\x>\frac{3}{50};&\end{cases}$

Наконец, переходим к следующей системе:

$\begin{cases}(x-(9-4\sqrt5))(x-(9+4\sqrt5))(x-\frac{13}{50})\leq 0,\\(x-(9-4\sqrt5))(x-(9+4\sqrt5))\neq 0,\\x>\frac{3}{50};&\end{cases}$

Нам требуется произвести сравнение чисел $9-4\sqrt5$ и $\frac{3}{50}$:

$9-4\sqrt5-\frac{3}{50}=\frac{447-200\sqrt5}{50}=\frac{\sqrt{199809}-\sqrt{200000}}{50}<0.$

Значит, $9-4\sqrt5<\frac{3}{50}$.

Ответ: [$\frac{13}{50};9+4\sqrt5$).

Смотрите задания 15, 16, 19, 20.