Задание №19 из реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

Елена Репина 2015-06-09 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №17»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №20, №21.

Разбор задания №19 одного из вариантов

15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:
‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;
‐ со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
‐ 15‐ го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите $r$ .

Решение:

Пусть в кредит взято $x$ рублей.

1-го числа следующего месяца (февраль) долг составит

$\frac{(100+r)}{100}x$ рублей.

Со 2-го по 14-е число должна быть произведена выплата в размере

$\frac{x}{14}+\frac{r}{100}x,$

после чего сумма долга составит

$\frac{(100+r)x}{100}-\frac{x}{14}-\frac{rx}{100}$ ,

то есть $\frac{13x}{14}.$

(При такой схеме долг на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца).

1-го марта долг составит

$\frac{(100+r)}{100}\cdot \frac{13x}{14}.$

Со 2-го по 14-е число должна быть произведена выплата в размере

$\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot \frac{13x}{14},$

после чего сумма долга составит

$\frac{12x}{14}.$

И так далее…

В итоге сумма выплат составит

$(\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot x)+(\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot \frac{13x}{14})+...+(\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot \frac{x}{14}).$

Перепишем полученную сумму так:

$x+\frac{rx}{14\cdot 100}(14+13+...+1).$

Посколько известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит, то составим уравнение:

$x+\frac{rx}{14\cdot 100}(14+13+...+1)=1,15x;$

$\frac{r\cdot \frac{(14+1)\cdot 14}{2}}{1400}=0,15;$

$r=\frac{0,15\cdot 1400}{7\cdot 15};$

$r=2.$

Ответ: 2.

Автор: egeMax | комментария 53

Печать страницы

комментария 53

Следующие комментарии →

Елена

2015-06-09 в 23:58

упсс(:ну надо же так тупить((-я же прорешала кучу задач, в условии которых “платежи подбираются так,что сумма долга уменьшается равномерно”-а в этой задаче просто не поняла до конца условия(:-вот и не смогла решить((
Спасибо,Елена Юрьевна,очень понятное,лаконичное решение задачи №19.С Вашей помощью и с этой задачкой разобралась!
Искреннее СПАСИБО Вам!

[ Ответить ]
- Мария
  
  2015-09-20 в 22:23
  
  По вашим сведениям кто-нибудь решил задачу 19 про равные платежи? Не могу найти в интернете общие сведения об этом.
  
  [ Ответить ]
  - egeMax
    
    2015-09-20 в 22:33
    
    Мария, вы имеете ввиду статистику?
    
    [ Ответить ]
    - Мария
      
      2015-09-20 в 22:54
      
      Да. Хотелось бы знать, сколько % решили полностью эту задачу. Подробнее, наверное нет сведений, т.е. получили 1 балл за это задание.
      
      [ Ответить ]
      - egeMax
        
        2015-09-20 в 23:02
        
        Мария, не знаю…
        
        [ Ответить ]
Елена

2015-06-13 в 17:05

Задача такая же, как от 5 марта диагностической работы СтатГрад (задача про Алексея, потом позже была задача про Жанну, Владимира-пробник Брянск).В нашей задаче немного завуалировали этот дифференцированный платеж. Просто надо зацепиться за словосочетание “долг должен быть на одну и ту же сумму меньше”. Обидно, что дети, которые весь год решали №19, в данной ситуации растерялись.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-06-13 в 19:12
  
  Елена, согласна с вами. Многие растерялись…
  
  [ Ответить ]
  - Pasha
    
    2015-09-15 в 20:36
    
    Скажите, пожалуйста, по каким пособиям к этой финансовой грамотности готовиться?
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2015-09-15 в 20:45
      
      Паша, не располагаю информацией… Решайте пока все те задачи, что появлялись за прошлый год. Загляните на решуегэ…
      
      [ Ответить ]
Ильяс

2015-11-18 в 17:59

Решите пожалуйста задачу:
В ДВУХ ШАХТАХ ДОБЫВАЮТ АЛЮМИНИЙ И НИКЕЛЬ. В ПЕРВОЙ ШАХТЕ ИМЕЕТСЯ 100 РАБОЧИХ, КАЖДЫЙ ИЗ КОТОРЫХ ГОТОВ ТРУДИТЬСЯ 5 ЧАСОВ В ДЕНЬ. ПРИ ЭТОМ ОДИН РАБОЧИЙ ЗА ЧАС ДОБЫВАЕТ 1 КГ АЛЮМИНИЯ ИЛИ 3 КГ НИКЕЛЯ. ВО ВТОРОЙ ШАХТЕ ИМЕЕТСЯ 300 РАБОЧИХ, КАЖДЫЙ ИЗ КОТОРЫХ ГОТОВ ТРУДИТЬСЯ 5 ЧАСОВ В ДЕНЬ. ПРИ ЭТОМ ОДИН РАБОЧИЙ ЗА ЧАС ДОБЫВАЕТ 3 КГ АЛЮМИНИЯ ИЛИ 1 КГ НИКЕЛЯ. ОБЕ ШАХТЫ ПОСТАВЛЯЮТ ДОБЫТЫЙ МЕТАЛЛ НА ЗАВОД, ГДЕ ДЛЯ НУЖД ПРОМЫШЛЕННОСТИ ПРОИЗВОДИТСЯ СПЛАВ АЛЮМИНИЯ И НИКЕЛЯ, В КОТОРОМ НА 2 КГ АЛЮМИНИЯ ПРИХОДИТСЯ 1 КГ НИКЕЛЯ. ПРИ ЭТОМ ШАХТЫ ДОГОВАРИВАЮТСЯ МЕЖДУ СОБОЙ ВЕСТИ ДОБЫЧУ МЕТАЛЛОВ ТАК, ЧТОБЫ ЗАВОД МОГ ПРОИЗВЕСТИ НАИБОЛЬШЕЕ КОЛИЧЕСТВО СПЛАВА. СКОЛЬКО КГ СПЛАВА ПРИ ТАКИХ УСЛОВИЯХ ЕЖЕДНЕВНО СМОЖЕТ ПРОИЗВЕСТИ ЗАВОД?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-11-18 в 20:44
  
  Ильяс, начните – помогу. Решать за вас не буду))
  
  [ Ответить ]
Катя

2015-11-26 в 15:22

Елена Юрьевна, помогите пожалуйста решить задачу.
В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-11-26 в 20:56
  
  Мы имеем по тысячи человекочасов в каждой области.
  Пусть в первой области $x$ часов уходит на добычу Al. Тогда $1000-x$ часов уходит на добычу Ni.
  В первой области производится тогда $0,3x$ кг Al и $0,1(1000-x)$ кг Ni.
  Пусть во второй области $y^2$ часов уходит на добычу Al. Тогда $1000-y^2$ часов уходит на добычу Ni.
  Во второй области производится тогда $y$ кг Al и $\sqrt{1000-y^2}$ кг Ni.
  Так как требуется брать Al к Ni как $2:1$ , то $0,3x+y=2(0,1(1000-x)+\sqrt{1000-y^2})$ .
  Откуда $0,5x=200+2\sqrt{1000-y^2}-y$ или $x=400+4\sqrt{1000-y^2}-2y.$
  Всего будет произведено $3(0,1(1000-x)+\sqrt{1000-y^2})$ кг металла.
  Исследуйте $f(y)=3(0,1(1000-(400+4\sqrt{1000-y^2}-2y))+\sqrt{1000-y^2}$ на наибольшее значение.
  
  [ Ответить ]
  - Юлия
    
    2016-01-11 в 19:19
    
    А можно поподробнее вот этот момент?
    Во второй области производится тогда y кг Al и \sqrt{1000-y^2} кг Ni.
    Так как требуется брать Al к Ni как 2:1, то 0,3x+y=2(0,1(1000-x)+\sqrt{1000-y^2}).
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2016-01-11 в 20:23
      
      Юлия, что именно не понятно?
      
      [ Ответить ]
  - Ксения
    
    2016-05-13 в 16:00
    
    Как получить выражение “всего произведено металла 3(0.1(1000-х)+√1000-y^2)”?
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2016-05-14 в 00:03
      
      Так как требуется брать Al 2 части, а Ni одну, то можно считать, что всего металла произведено 3 части.
      
      [ Ответить ]
Ильяс

2015-11-27 в 18:56

А вот ещё один вопрос: там ведь по условию задачи во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда. А у вас в первой области х? Обьясните пожалуйста.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-11-27 в 20:20
  
  Да там хоть z пишите. Какая разница? Показана зависимость. Вот и все.
  
  [ Ответить ]
Коля

2015-11-28 в 17:47

Елена Юрьевна, не пойму почему у^ кг. По условию у^2 человеко-часов труда.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-11-28 в 20:59
  
  Исправлено))
  
  [ Ответить ]
Ильяс

2015-12-15 в 18:49

В ДВУХ ШАХТАХ ДОБЫВАЮТ АЛЮМИНИЙ И НИКЕЛЬ. В ПЕРВОЙ ШАХТЕ ИМЕЕТСЯ 100 РАБОЧИХ, КАЖДЫЙ ИЗ КОТОРЫХ ГОТОВ ТРУДИТЬСЯ 5 ЧАСОВ В ДЕНЬ. ПРИ ЭТОМ ОДИН РАБОЧИЙ ЗА ЧАС ДОБЫВАЕТ 1 КГ АЛЮМИНИЯ ИЛИ 3 КГ НИКЕЛЯ. ВО ВТОРОЙ ШАХТЕ ИМЕЕТСЯ 300 РАБОЧИХ, КАЖДЫЙ ИЗ КОТОРЫХ ГОТОВ ТРУДИТЬСЯ 5 ЧАСОВ В ДЕНЬ. ПРИ ЭТОМ ОДИН РАБОЧИЙ ЗА ЧАС ДОБЫВАЕТ 3 КГ АЛЮМИНИЯ ИЛИ 1 КГ НИКЕЛЯ. ОБЕ ШАХТЫ ПОСТАВЛЯЮТ ДОБЫТЫЙ МЕТАЛЛ НА ЗАВОД, ГДЕ ДЛЯ НУЖД ПРОМЫШЛЕННОСТИ ПРОИЗВОДИТСЯ СПЛАВ АЛЮМИНИЯ И НИКЕЛЯ, В КОТОРОМ НА 2 КГ АЛЮМИНИЯ ПРИХОДИТСЯ 1 КГ НИКЕЛЯ. ПРИ ЭТОМ ШАХТЫ ДОГОВАРИВАЮТСЯ МЕЖДУ СОБОЙ ВЕСТИ ДОБЫЧУ МЕТАЛЛОВ ТАК, ЧТОБЫ ЗАВОД МОГ ПРОИЗВЕСТИ НАИБОЛЬШЕЕ КОЛИЧЕСТВО СПЛАВА. СКОЛЬКО КГ СПЛАВА ПРИ ТАКИХ УСЛОВИЯХ ЕЖЕДНЕВНО СМОЖЕТ ПРОИЗВЕСТИ ЗАВОД?
Решение: я взял в 1-ой шахте пусть у рабочих добывают никель, тогда 100-у рабочих добывают алюминий. Пусть во 2-ой шахте х рабочих добывают никель, тогда 300-х рабочих добывают алюминий.
1/2=(15у+5х)/(5(100-у)+15(300-х)) из этого всего я получил х=200-1,4у.
Затем 15у+5х+5(100-у)+15(300-х) , теперь подставляю и получилось 3000+24у. Это будет функция. У переменной у есть ограничение от 0 до 100. А дальше что?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-12-16 в 14:20
  
  f(y)=3000+24y – линейная функция. Она возрастающая. На [0;100] наиб. значение, равное 5400, достигается при y=100.
  
  [ Ответить ]
Ильяс

2015-12-15 в 18:54

До этого я сделал по другому и у меня в 1-ой шахте были задействованы все 100 рабочих, если же и в этой функцие брать 100 рабочих, то ответ совпадает, но я не понимаю?

[ Ответить ]
Ильяс

2015-12-16 в 16:31

Ну а если я возьму 99 или 98 и так далее я ведь могу взять и эти числа, тогда ответ не совпадёт

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-12-16 в 21:26
  
  Зачем брать 99 и 98?
  
  [ Ответить ]
ЕГЭшник

2016-01-11 в 17:22

15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:
‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 3r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
‐ со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
‐ 15‐ го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

[ Ответить ]
Алина

2016-03-03 в 21:15

А почему со 2ого по 14-е число мы платим x/14+ rx/100, а не просто x/14?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-03-03 в 22:15
  
  Так банк дает под проценты!
  
  [ Ответить ]
  - Алина
    
    2016-03-03 в 22:39
    
    Спасибо)
    
    [ Ответить ]