Задание №15 Т/Р №224 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №224 А. Ларина.

15. Решите неравенство

$-3log_{(x-1)}\frac{1}{3}+log_{\frac{1}{3}}(x-1)>2|log_{\frac{1}{3}}(x-1)|.$

Решение:

$-3log_{(x-1)}\frac{1}{3}+log_{\frac{1}{3}}(x-1)>2|log_{\frac{1}{3}}(x-1)|;$
$\\$

$\left [ \begin{array}{rcl}\begin{cases}log_{\frac{1}{3}}(x-1)\geq 0,\\log_{\frac{1}{3}}(x-1)+\frac{3}{log_{\frac{1}{3}}(x-1)}<0;\\ \end{cases}\\\begin{cases}log_{\frac{1}{3}}(x-1)<0,\\log_{\frac{1}{3}}(x-1)-\frac{1}{log_{\frac{1}{3}}(x-1)}>0,\end{cases}\end{array}\right.$
$\\$
$\left [ \begin{array}{rcl}\begin{cases}log_{\frac{1}{3}}(x-1)\geq 0,\\\frac{log^2_{\frac{1}{3}}(x-1)+3}{log_{\frac{1}{3}}(x-1)}<0,\\ \end{cases}\\\begin{cases}log_{\frac{1}{3}}(x-1)<0,\\\frac{log^2_{\frac{1}{3}}(x-1)-1}{log_{\frac{1}{3}}(x-1)}>0,\end{cases}\end{array}\right.$

$\\$

$\left [ \begin{array}{rcl}\begin{cases}log_{\frac{1}{3}}(x-1)\geq 0,\\log_{\frac{1}{3}}(x-1)<0,\\ \end{cases}\\\begin{cases}log_{\frac{1}{3}}(x-1)<0,\\\large \frac{(log_{\frac{1}{3}}(x-1)-1)(log_{\frac{1}{3}}(x-1)+1)}{log_{\frac{1}{3}}(x-1)}>0,\end{cases}\end{array}\right.$

$\\$
$\begin{cases}log_{\frac{1}{3}}(x-1)<0,\\\large \frac{(log_{\frac{1}{3}}(x-1)-log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{3})(log_{\frac{1}{3}}(x-1)-log_{\frac{1}{3}}3)}{log_{\frac{1}{3}}(x-1)-log_{\frac{1}{3}}1}>0,\end{cases}$
$\\$

$\begin{cases}x>2,\\\large\frac{(\frac{1}{3}-1)^2(x-1-\frac{1}{3})(x-1-3)}{(\frac{1}{3}-1)(x-1-1)}>0,\end{cases}$

$\\$
$\begin{cases}x>2,\\\frac{(x-\frac{4}{3})(x-4)}{x-2}<0,\end{cases}$

$x\in (2;4).$

Ответ: $(2;4).$