Задание №20 Т/Р №103 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система

$\begin{cases}a^2-x^2+2x-2a\leq 0,\\x^2=4x-a;&\end{cases}$

имеет ровно одно решение.

Решение:

$\begin{cases}(a-x)(a+x)-2(a-x)\leq 0,\\a=-x^2+4x;&\end{cases}$

$\begin{cases}(a-x)(a+x-2)\leq 0,\\a=-x^2+4x;&\end{cases}$

Работать будем в системе координат $(xoa).$

Прямые $a=x$ и $a=-x+2$ разделяют плоскость $(xoa)$ на 4 зоны, в двух из которых (включая границы) знак произведения $(a-x)(a+x-2)$ – не плюс (зоны выделены цветом на рисунке).

$a=-x^2+4x$ – график – парабола с ветвями вниз, вершина $(2;4),$  абсциссы точек пересечения с осью $(ox)$ – $0$ и $4$.

Найдем значение $a$, отвечающее пересечению прямой $a=-x+2$ и параболы $a=-x^2+4x:$

$-x+2=-x^2+4x;$

$x^2-5x+2=0;$

$x=\frac{5\pm \sqrt{17}}{2};$

Тогда

 $a=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}.$

Несложно найти и значения $a$, отвечающие за пересечение прямой $a=x$ и параболы $a=-x^2+4x:$

$a=0$ или $a=3.$

Итак, исходная система будет иметь единственное решение при

$a\in [\frac{-1-\sqrt{17}}{2};0)\cup (\frac{-1+\sqrt{17}}{2};3].$

Ответ: $[\frac{-1-\sqrt{17}}{2};0)\cup (\frac{-1+\sqrt{17}}{2};3].$