Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №165 А. Ларина
14. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно
, а сторона основания равна
. На продолжении ребра
отмечена точка
так, что
а) Докажите, что плоскости и
перпендикулярны.
б) Найдите объем пирамиды .
Решение:
a) По условию при этом
тогда
Пусть – середина
Тогда
и
Очевидно, перпендикулярна плоскости
(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).
Все точки плоскости равноудалены от точек
и
. В частности, треугольник
равнобедренный и
перпендикулярна
Несложно заметить, что
(как высота правильного треугольника со стороной
);
(где
– центр основания пирамиды);
(из треугольника
);
(косинусы смежных углов противоположны по знаку);
(по теореме косинусов для треугольника ).
Теперь же, обнаруживаем, что
Действительно,
То есть, по теореме, обратной теореме Пифагора,
Итак, линейный угол между плоскостями
– прямой, то есть плоскости
перпендикулярны. Что и требовалось доказать.
б) Будем рассматривать пирамиду как пирамиду с основанием
По свойству перпендикулярных плоскостей, раз лежащая в
перпендикулярна линии пересечения плоскостей
, то
перпендикулярна и всей плоскости
Тогда, проведя из точки в треугольнике
прямую
параллельную
(
), получаем, что
– высота пирамиды
Очевидно,
Итак,
Ответ: б)
Добавить комментарий