Задание №14 Т/Р №165 А. Ларина

Смотрите также  №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №165 А. Ларина

14. В правильной треугольной пирамиде $PABC$ боковое ребро равно $5$, а сторона основания равна $6$. На продолжении ребра $PA$ отмечена точка $M$ так, что $MA:MP=9:16.$

а) Докажите, что плоскости $PBC$ и $MBC$ перпендикулярны.

б) Найдите объем пирамиды $MABC$.

Решение:

a) По условию $MA:MP=9:16,$  при этом $PA=5,$ тогда $MA=\frac{9PA}{7}=\frac{45}{7}.$

Пусть $T$ – середина $BC.$ Тогда $PT\perp BC$ и $AT\perp BC.$

Очевидно, $BC$ перпендикулярна  плоскости $PTA$ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

Все точки плоскости $PTA$ равноудалены от точек $B$ и $C$. В частности,  треугольник $MBC$ равнобедренный и $TM$ перпендикулярна $BC.$

Несложно заметить, что

$TA=3\sqrt3$ (как высота правильного треугольника со стороной $6$);

$AO=\frac{2TA}{3}=2\sqrt3$ (где $O$ – центр основания пирамиды);

$PT=\sqrt{PC^2-TC^2}=\sqrt{25-9}=4;$

$cosPAO=\frac{AO}{PA}=\frac{2\sqrt3}{5}$ (из треугольника $PAO$);

$cosTAM=-cosPAO$ (косинусы смежных углов противоположны по знаку);

$TM=\sqrt{TA^2+AM^2-2TA\cdot AM\cdot cosTAM}=\frac{12\sqrt{39}}{7}$

(по теореме косинусов для треугольника $TAM$).

Теперь же, обнаруживаем, что $PM^2=PT^2+TM^2.$

Действительно,

$(\frac{80}{7})^2=4^2+(\frac{12\sqrt{39}}{7})^2.$

То есть, по теореме, обратной теореме Пифагора, $\angle PTM=90^{\circ}.$

Итак, линейный угол $PTM$ между плоскостями $PBC,MBC$ – прямой, то есть  плоскости $PBC,MBC$ перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

б) Будем рассматривать пирамиду  $MABC$ как пирамиду с основанием $MBC.$

По свойству перпендикулярных плоскостей, раз $PT,$ лежащая в $PBC,$ перпендикулярна линии пересечения плоскостей  $PBC,MBC$, то $PT$ перпендикулярна и всей плоскости $MBC.$

Тогда, проведя  из точки $A$ в треугольнике $PMT$ прямую $AH,$ параллельную  $PT$ ($H\in TM$), получаем, что $AH$ – высота пирамиды $MABC.$

Очевидно, $AH=\frac{9}{16}PT=\frac{9}{4}.$

Итак, $V_{MABC}=\large\frac{1}{3}\cdot S_{MBC}\cdot AH=\frac{1}{3}\cdot \frac{6\cdot \frac{12\sqrt{39}}{7}}{2}\cdot \frac{9}{4}=\frac{27\sqrt{39}}{7}.$

Ответ: б) $\frac{27\sqrt{39}}{7}.$