Задание №14 Т/Р №165 А. Ларина

2016-10-13

Смотрите также  №13№15№16№17№18№19 Тренировочной работы №165 А. Ларина

14. В правильной треугольной пирамиде PABC боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра PA отмечена точка M так, что MA:MP=9:16.

а) Докажите, что плоскости PBC и MBC перпендикулярны.

б) Найдите объем пирамиды MABC.

Решение:

a) По условию MA:MP=9:16,  при этом PA=5, тогда MA=\frac{9PA}{7}=\frac{45}{7}.

Пусть T – середина BC. Тогда PT\perp BC и AT\perp BC.

Очевидно, BC перпендикулярна  плоскости PTA (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

Все точки плоскости PTA равноудалены от точек B и C. В частности,  треугольник MBC равнобедренный и TM перпендикулярна BC.

Несложно заметить, что

TA=3\sqrt3 (как высота правильного треугольника со стороной 6);

AO=\frac{2TA}{3}=2\sqrt3 (где O – центр основания пирамиды);

PT=\sqrt{PC^2-TC^2}=\sqrt{25-9}=4;

cosPAO=\frac{AO}{PA}=\frac{2\sqrt3}{5} (из треугольника PAO);

cosTAM=-cosPAO (косинусы смежных углов противоположны по знаку);

TM=\sqrt{TA^2+AM^2-2TA\cdot AM\cdot cosTAM}=\frac{12\sqrt{39}}{7}

(по теореме косинусов для треугольника TAM).

Теперь же, обнаруживаем, что PM^2=PT^2+TM^2.

Действительно,

(\frac{80}{7})^2=4^2+(\frac{12\sqrt{39}}{7})^2.

То есть, по теореме, обратной теореме Пифагора, \angle PTM=90^{\circ}.

Итак, линейный угол PTM между плоскостями PBC,MBC – прямой, то есть  плоскости PBC,MBC перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

б) Будем рассматривать пирамиду  MABC как пирамиду с основанием MBC.

По свойству перпендикулярных плоскостей, раз PT, лежащая в PBC, перпендикулярна линии пересечения плоскостей  PBC,MBC, то PT перпендикулярна и всей плоскости MBC.

Тогда, проведя  из точки A в треугольнике PMT прямую AH, параллельную  PT (H\in TM), получаем, что AH – высота пирамиды MABC.

Очевидно, AH=\frac{9}{16}PT=\frac{9}{4}.

Итак, V_{MABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{MBC}\cdot AH=\frac{1}{3}\cdot \frac{6\cdot \frac{12\sqrt{39}}{7}}{2}\cdot \frac{9}{4}=\frac{27\sqrt{39}}{7}.

Ответ: б) \frac{27\sqrt{39}}{7}.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif