Задание №13 (по старому №15) Т/Р №113 А. Ларина

Смотрите также №16, №17, №18, №19, №20.

Дано уравнение:

$cosx+sinx+sin2x+1=0.$

a) Решите уравнение;

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2};2\pi].$

Решение:

а)

$cosx+sinx+sin2x+1=0;$

$cosx+sinx+2sinxcosx+sin^2x+cos^2x=0;$

$(cosx+sinx)+(cosx+sinx)^2=0;$

$(cosx+sinx)(1+cosx+sinx)=0;$

$cosx+sinx=0$  или $cosx+sinx=-1;$

$cosx+sinx=0$ или  $\frac{\sqrt2}{2}cosx+\frac{\sqrt2}{2}sinx=-\frac{\sqrt2}{2};$

$cosx+sinx=0$ или  $sin(\frac{\pi}{4}+x)=-\frac{\sqrt2}{2};$

$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z$  или  $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k, k\in Z$ или $x=\pi+2\pi k, k\in Z;$

б) Отбор корней из отрезка $[\frac{\pi}{2};2\pi]$ производим при помощи тригонометрического круга.

Ответ:

а) $-\frac{\pi}{4}+\pi n,$   $-\frac{\pi}{2}+2\pi k,$   $\pi+2\pi k,$    $k,n\in Z;$

б) $\frac{3\pi}{4},\pi, \frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4}.$