Задание №15 Т/Р №215 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

15. Решите неравенство

$(3^x-2^x)(6^{x+1}+1)+6^x\geq 3^{2x+1}-2^{2x+1}.$

Решение:

$(3^x-2^x)(6\cdot 2^x\cdot 3^x+1)+2^x\cdot 3^x\geq 3\cdot 3^{2x}-2\cdot 2^{2x}.$

Пусть $3^x=m,2^x=n.$

Тогда

$(m-n)(6mn+1)+mn\geq 3m^2-2n^2;$

$(m-n)(6mn+1)+mn\geq 3(m-n)(m+n)+n^2;$

$(m-n)(6mn+1)+n(m-n)-3(m-n)(m+n)\geq 0;$

$(m-n)(6mn+1+n-3m-3n)\geq 0;$

$(m-n)(6mn+1-3m-2n)\geq 0;$

$(m-n)(3m(2n-1)-(2n-1))\geq 0;$

$(m-n)(2n-1)(3m-1)\geq 0.$

Сделаем обратную замену:

$(3^x-2^x)(2^{x+1}-1)(3^{x+1}-1)\geq 0;$

$(3^x-3^{log_32^x})(2^{x+1}-2^0)(3^{x+1}-3^0)\geq 0.$

Применим метод замены множителей:

$(x-xlog_32)(x+1)(x+1)\geq 0;$

$(x(1-log_32))(x+1)^2\geq 0.$

Замечаем, $1-log_32=log_33-log_32=log_31,5>log_31=0.$

$x(x+1)^2\geq 0;$

$x\in ${$-1$}$\cup [0;+\infty).$

Ответ: {$-1$}$\cup [0;+\infty).$