Смотрите также задания №13; №15; №16; №17; №18; №19
14. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны $2$. Точка $M$ — середина ребра $AA_1$.
а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_1C$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_1C$.
Смотрите также задания №13; №14; №16; №17; №18; №19
15. Решите неравенство $\large 3^{x^2}\cdot 5^{x-1}\geq 3.$
Смотрите также задания №13; №14; №15; №17; №18; №19
14. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны стороны и диагональ:
$AB=3,BC=CD=5,AD=8,AC=7.$
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите $BD.$
Смотрите также задания №13; №14; №15; №16; №18; №19
17. В регионе A среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял $43740$ рублей и ежегодно увеличивался на $25$%. В регионе B среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял $60 000$ рублей. В течение трёх лет суммарный доход жителей региона B увеличивался на $17$% ежегодно, а население увеличивалось на $m$% ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в регионах A и B стал одинаковым. Найдите $m.$
Смотрите также задания №13; №14; №15; №16; №17; №19
18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases}x^2+y^2=a^2,\\xy=a^2-3a;&\end{cases}$
имеет ровно два различных решения?
Смотрите также задания №13; №14; №15; №16; №17; №18
19. а) Существуют ли двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что
$|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|\leq \frac{1}{100}?$
б) Существуют ли двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что
$|\frac{m^2}{n^2}-2|\leq \frac{1}{10000}?$
в) Найдите все возможные значения натурального числа $n,$ при каждом из которых значение выражения $|\frac{n+10}{n}-\sqrt2|$ будет наименьшим.
Смотрите также №13; №14; №15; №16; №18; №19 Тренировочной работы №224 А. Ларина.
17. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк $\frac{3}{4}$ от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а еще через год в счет погашения кредита он внес в банк сумму, на $21$% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в банке?
Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №224 А. Ларина.
15. Решите неравенство
$-3log_{(x-1)}\frac{1}{3}+log_{\frac{1}{3}}(x-1)>2|log_{\frac{1}{3}}(x-1)|.$ Читать далее
Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №224 А. Ларина.
19. а) Можно ли записать точный квадрат, использовав по $10$ раз цифры $1,2,3$?
б) Можно ли записать точный квадрат, использовав по $10$ раз цифры $2,3,6$?
в) Может ли сумма цифр точного квадрата равняться $1970$?
Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №224 А. Ларина.
14. В основании пирамиды $TABCD$ лежит трапеция $ABCD,$ в которой $BC\parallel AD$ и $AD:BC=2.$ Через вершину $T$ пирамиды проведена плоскость, параллельная прямой $BC$ и пересекающая отрезок $AB$ в точке $M$ такой, что $AM:MB=2.$ Площадь получившегося сечения равна $10,$ а расстояние от ребра $BC$ до плоскости сечения равно $4.$
а) Докажите, что плоскость сечения делит объем пирамиды в отношении $7:20.$
б) Найдите объем пирамиды.
Смотрите также №14; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №224 А. Ларина.
13. Дано уравнение $4(sin4x-sin2x)=sinx(4cos^23x+3).$
а) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;\frac{3\pi}{2}]$.
Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №224 А. Ларина.
18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых существует хотя бы одно $x,$ удовлетворяющее условию:
$\begin{cases}|x^2-5x+4|-9x^2-5x+4+10x|x|=0,\\x^2-2(a-1)x+a(a-2)=0.&\end{cases}$
Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.
15. Решите неравенство
$\large \frac{log_8x}{log_2(1+2x)}\leq \frac{log_2\sqrt[3]{1+2x}}{log_2x}.$ Читать далее
Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.
18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых существует хотя бы одно $x,$ удовлетворяющее условию:
$\begin{cases}x^2+(5a+2)x+4a^2+2a<0,\\x^2+a^2=4.&\end{cases}$
[latexpage]Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.
14. На боковых ребрах $DB$ и $DC$ треугольной пирамиды $ABCD$ расположены точки $M$ и $N$ так, что $BM=MD$ и $CN:ND=2:3.$ Через вершину $A$ основания пирамиды и точки $M$ и $N$ проведена плоскость $\alpha,$ пересекающая медианы боковых граней, проведенных из вершины $D,$ в точках $K,R$ и $T.$
а) Докажите, что площадь треугольника $KTR$ составляет $\frac{5}{22}$ от площади сечения пирамиды плоскость $\alpha.$
б) Найти отношение объемов пирамид $KRTC$ и $ABCD.$
Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
