Путеводитель по задачам №18 (С7)

2024

1.1. (Пробник 2023) В кошельке у Коли было $n$ монет достоинством $2, 5$ или $10$ рублей. Коля сделал несколько покупок, расплатился за каждую покупку отдельно и без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

a) Могли ли покупками быть альбом за $56$ рублей и кисточка за $29$ рублей, если $n=14$?

б) Могли ли покупками быть тетрадь за $10$ рублей, линейка за $15$ рублей и карандаш за $20$ рублей, если $n=19$?

в) Какое наименьшее количество пятирублевых монет могло быть в кошельке, если Коля купил только набор фломастеров за 85 рублей, а $n=24?$

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) $7.$

1.2. (Пробник 2023) В кошельке у Ильи было $n$ монет достоинством 2, 5 или 10 рублей. Илья сделал несколько покупок, расплатился за каждую покупку отдельно и без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

a) Могли ли покупками быть шоколад за 64 рубля и сок за 31 рубль, если $n=16?$

б) Могли ли покупками быть чашка кофе за 15 рублей, молочный ломтик за 20 рублей и сэндвич за 25 рублей, если $n=26?$

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Илья купил только мармелад за 96 рублей, а $n=19?$

Ответ: а) да; б) нет; в) $6.$

2023

1.1. (ЕГЭ 2023) В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 21%.

а)  Может ли в этом классе быть 5 девочек?

б)  Может ли доля девочек составить 30%, если в этот класс придёт новая девочка?

в)  В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 25.

1.2. (ЕГЭ 2023) В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 36%.

а)  Может ли в этом классе быть 7 девочек?

б)  Может ли доля девочек составить 45%, если в этот класс придёт новая девочка?

в)  В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Ответ: а) да; б) нет; в) 40.

2.1. (ЕГЭ 2023) Даны числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A  =  7, B  =  11.

а)  Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно 50?

б)  За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600?

в)  Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?

Решение Ответ: а) нет; б) 582; в) 81.

2.2. (ЕГЭ 2023) Даны числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A  =  4, B  =  5.

a) Можно ли получить число 200 за 100 ходов?
б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму равную 300.

в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму, при этом ни одно число не превышает 200.

Ответ: а) нет; б) 291; в) 390.

3.1. (ЕГЭ 2023) На доске написано трёхзначное число A. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число B, затем Коля записывает число A и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число C.

а)  Может ли быть верным уравнение A=B•C, если A>140

б)  Может ли быть верным уравнение A=B•C, если 440$\leq $A<500. 

в)  Найдите наибольшее число A до 900 для которого выполняется A=B•C.

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 810.

3.2. (ЕГЭ 2023) Есть трёхзначное число A, которое написал Петя. Костя и Ваня вычёркивают по одной цифре в числе, получаются двухзначные числа B и C, причём и Костя и Ваня могут вычеркнуть одинаковые цифры.

а)  Может ли быть верно равенство A=B•C, если A>130.

б)  Может ли быть верно равенство  A=B•C, если 540<A$\leq$ 600.

в)  Какое максимальное A соответствует условию A=B•C.

Ответ: а) да; б) нет; в) 910.

4.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Дано натуральное число. К этому числу можно либо прибавить утроенную сумму его цифр, либо вычесть утроенную сумму его цифр. После прибавления или вычитания суммы цифр, число должно остаться натуральным.

а)  Можно ли получить из числа $128$ число $29$?

б)  Можно ли получить из числа $128$ число $31$?

в)  Какое наименьшее число можно было получить из числа $128$?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 2.

4.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Дано натуральное число. На каждом ходе из него либо вычитают утроенную сумму цифр, либо прибавляют утроенную сумму цифр, так, что полученное число остается натуральным.

a)  Могло ли из числа  $65$ получиться число $41$?

б)  Могло ли из числа $65$ получиться число $43$?

в)  Какое наименьшее двузначное число можно получить из $65$?

Ответ: а) да; б) нет; в) $11.$

5.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Трёхзначное натуральное число, в десятичной записи которого нет нулей, разделили на произведение его цифр.

а)  Может ли получившееся частное быть равным $5$?

6)  Может ли получившееся частное быть равным $1$?

в)  Какое наименьшее значение может принимать это частное?

Решение Ответ: а)  да; б)  нет; в)  $\frac{37}{27}.$

5.2. (ЕГЭ 2016) Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно $\frac{113}{27}.$
б) Может ли это частное равняться $\frac{125}{27}$?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем $27$?

 Ответ: а) $339$; б) нет; в) $\frac{931}{27}.$

6.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Бесконечная геометрическая прогрессия $b_1, b_2, …, b_n, …$ состоит из различных натуральных чисел. Пусть $S_1  =  b_1$ и $S_n=  b_1 + b_2+ … + b_n$ при всех натуральных $n\geq 2.$

а)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел $S_1, S_2, S_3, S_4$ которой ровно два числа делятся на $60$?

б)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел  $S_1, S_2, S_3, S_4$ которой ровно три числа делятся на $60?$

в)  Какое наибольшее количество чисел среди  $S_1, S_2, S_3, …, S_{12}$  может делиться на $60,$ если известно, что $S_1$ на $60$ не делится?

Решение Ответ: а)  да; б)  нет; в)  $6.$

6.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Бесконечная геометрическая прогрессия $b_1, b_2, …, b_n, …$ состоит из различных натуральных чисел. Пусть $S_1  =  b_1$ и $S_n=  b_1 + b_2+ … + b_n$ при всех натуральных $n\geq 2.$

а)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел $S_1, S_2, S_3, S_4$  которой ровно два числа делятся на $40$?

б)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел $S_1, S_2, S_3, S_4$  которой ровно три числа делятся на $40$?

в)  Какое наибольшее количество чисел среди $S_1, S_2, S_3, …, S_{8}$ может делиться на $40,$ если известно, что $S_1$ на $40$ не делится?

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  $4.$

7.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.

а)  Может ли Егор за $4$ хода разделить линейку длиной в $16$ см на части по $1$ см?

б)  Может ли Егор за $5$ ходов разделить линейку длиной в $100$ см на части по $1$ см?

в)  За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в $300$ см на части по $1$ см?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) $9.$

7.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.

а)  Может ли Егор за $5$ ходов разделить линейку длиной в $32$ см на части по $1$ см?

б)  Может ли Егор за $4$ хода разделить линейку длиной в $50$ см на части по $1$ см?

в)  За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в $200$ см на части по $1$ см?

Ответ: а) да; б) нет; в) $8.$

8.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) У Пети есть монеты номиналом $1, 2, 5$ и $10$ рублей. Каждого вида монет у него по $100$ штук. Цена пирожного в рублях выражается целым числом. Петя хочет купить пирожное без сдачи, но до покупки не знает сколько оно стоит.

а)  Может ли Петя выбрать дома $16$ монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более $100$  рублей?

б)  Может ли Петя выбрать дома $5$ монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более $25$  рублей?

в)  Какое наименьшее количество монет нужно взять Пете, если известно, что пирожное стоит не более $100$  рублей?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) $13.$

10.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Квадратное уравнение $x^2-px+q=0$  с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня.

а)  Найдите все возможные значения p, если q  =  5.

б)  Могут ли одновременно выполняться неравенства p  <  10 и q  >  30?

в)  Найдите наименьшее значение p при q  >  30.

Решение Ответ: а) 6; б) нет; в) 12.

10.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Квадратное уравнение $x^2-px+q=0$  с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня.

а)  Найдите все возможные значения p, если q  =  13.

б)  Могут ли одновременно выполняться неравенства p < 8  и q > 20?

в)  Найдите наименьшее значение p при  q > 20.

Ответ: а) 14; б) нет; в) 10.

11. (ЕГЭ 2023) Дана правильная несократимая дробь $\frac{a}{b}.$ За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель на два числителя, т. е. получить несократимую дробь $\frac{a+b}{b+2a}.$

а)  Можно ли из дроби $\frac{2}{3}$ получить дробь $\frac{29}{41}$?

б)  Можно ли из некоторой дроби получить дробь $\frac{6}{7}$ за 2 хода.

в)  Дробь  $\frac{c}{d}$ больше  $\frac{7}{10}.$ Найдите минимальную дробь $\frac{c}{d},$ которую нельзя получить из другой правильной несокращаемой дроби за 2 хода.

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 5/7.

12.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Есть контейнеры массой 7 тонн и массой 2 тонны и корабли грузоподъемностью 10 тонн.

а)  Можно ли увезти за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 14 кораблях?

б)  Можно ли увезти за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 12 кораблях?

в)  На каком наименьшем количестве кораблей можно увести за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 77 контейнеров массой 2 тонны?

Решение Ответ: а)  да; б)  нет; в)  25.

12.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Есть контейнеры массой 7 тонн и массой 2 тонны и корабли грузоподъемностью 10 тонн.

а)  Можно ли увезти за один раз 12 контейнеров массой 7 тонн и 24 контейнера массой 2 тонны на 15 кораблях?

б)  Можно ли увезти за один раз 12 контейнеров массой 7 тонн и 18 контейнера массой 2 тонны на 13 кораблях?

в)  На каком наименьшем количестве кораблей можно увести за один раз 12 контейнеров массой 7 тонн и 45 контейнеров массой 2 тонны?

Ответ: а) да; б) нет; в) 19.

до 2023

-10.  (Реальный ЕГЭ, 2021) Дано трёхзначное число $A$, сумма цифр которого равна $S$.

а) Может ли выполняться равенство $A\cdot S=28000$?

б) Может ли выполняться равенство $A\cdot S=2971$?

в) Найдите наибольшее произведение $A\cdot S<5997.$

Ответ: a) нет; б) нет; в) $5992.$ Решение

-9.  (Реальный ЕГЭ, 2021) Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.

а) Может ли сумма трех чисел быть равной 2022?

б) Может ли сумма трех чисел быть равной 2021?

в) Сколько существует троек чисел, таких что первое число трехзначное, а последнее равно 2?

Ответ: а) да; б) нет;  в) $97.$ Решение

-8. (Реальный ЕГЭ, 2019) Дана последовательность $a_n$ из $100$ натуральных чисел, каждое из которых, начиная со второго, либо в два раза больше предыдущего, либо на $98$ меньше.
а) Может ли последовательность состоять из $5$ чисел?
б) Какое может быть $a_1$, если $a_{100}=75$?
в) Найдите наименьшее значение наибольшего члена последовательности.

Ответ: а) да; б) $9777$; в) $112.$ Решение

-7. (Реальный ЕГЭ, 2019) Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой написаны натуральные числа, среднее арифметическое которых равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2.
а) Может ли быть 10 синих карточек?
б) Может ли быть 10 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?

Ответ: а) да; б) нет; в) $35.$ Решение

-6. (Реальный ЕГЭ, 2018) В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал $51$ учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу  №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в два раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на $10$%, средний балл в школе №2 также вырос на $10$%. Мог ли первоначальный балл в школе №2 равняться $1$?
в) Средний балл в школе №1 вырос на $10$%, средний балл в школе №2 также вырос на $10$%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $3.$ Решение

-5. (Досрочный ЕГЭ, резервный, 2018) На доске написано $n$ чисел $a_i$ ($i = 1, 2, …, n$). Каждое из них не меньше $50$ и не больше $150$. Каждое из этих чисел уменьшают на $r_i$%. При этом либо $r_i = 2$%, либо число $a_i$ уменьшается на $2$, то есть становится равным $a_i – 2$. (Какие-то числа уменьшились на число $2$, а какие-то — на $2$ процента).
а) Может ли среднее арифметическое чисел $r_1, r_2, …, r_n$ быть равным $5$?
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел $r_1, r_2, …, r_n$ больше $2$, при этом сумма чисел $a_1, a_2 … a_n$ уменьшилась более чем на $2n$?
в) Пусть всего чисел $30$, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на $40$. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел $r_1, r_2, …, r_n$. Ответ: а) нет; б) да; в) $\frac{8}{3}.$ Решение

-4. (Досрочный ЕГЭ, 2018) а) Существуют ли двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что

$|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|\leq \frac{1}{100}?$

б) Существуют ли двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что

$|\frac{m^2}{n^2}-2|\leq \frac{1}{10000}?$

в) Найдите все возможные значения натурального числа $n,$ при каждом из которых значение выражения $|\frac{n+10}{n}-\sqrt2|$ будет наименьшим.

Ответ: а) $95$ и $67$; б) нет; в) $24.$ Решение

-3. (Резервный ЕГЭ, 2017) Последовательность $a_1,a_2,…,a_6$ состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть $M_k$ — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме $k$-го. Известно, что $M_1=7,M_2=6.$

а) Приведите пример такой последовательности, для которой $M_3=6,4.$

б) Существует ли такая последовательность, для которой $M_3=5$?

в) Найдите наименьшее возможное значение $M_3.$

Ответ: а) $1;6;4;9;9;7$; б) нет; в) $5,2.$ Решение

-2. (Резервный ЕГЭ, 2017) С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа $1923$ получается число $110911253$).

а) Приведите пример числа, из которого получается $2108124117$.

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число $374944128$?

в) Какое наибольшее число, кратное $11$, может получиться из трехзначного числа?

Ответ: а) $2847$; б) нет; в) $9167169.$ Решение

-1. (ЕГЭ, 2017) На доске написано $30$ различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру $2$, или на цифру $6$. Сумма написанных чисел равна $2454$.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на $2$ и на $6$.

б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на $6$?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на $6$, может быть записано на доске?

Ответ: а) нет; б) нет; в) $11.$ Решение

0. (Досрочн., 2017)  На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше $40$ и меньше $100$.

а) Может ли на доске быть $5$ чисел?
б) Может ли на доске быть $6$ чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Ответ: а) да; б) нет; в) $35.$ Решение

1. (ЕГЭ, 2015) Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 63 баллов. Из‐за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 4 балла, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 70, средний балл участников, сдавших тест, составил 80, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 55. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 82, а не сдавших тест – 58. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация? Ответ: а) да; б) да; в) 15. Решение

2. (ЕГЭ ДЕМО, 2015) На доске написано более 40, но меее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое отрицательных из них равно -8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? Ответ: а) 44; б) отрицательных больше; в) 17. Решение

3. (ЕГЭ резервн., 2016)  На доске написано $30$ чисел: десять «$5$», десять «$4$» и десять «$3$». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $\frac{A+B}{2}.$

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по $15$ чисел, то среднее

арифметическое всех чисел будет равно $\frac{A+B}{2}.$
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\frac{A+B}{2}.$

Ответ: а) все пятерки в одной группе, остальные числа – в другой; в) $4\frac{14}{29}.$ Решение

4. (ЕГЭ, 2016)  На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек числа, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательности 5 ходов.

б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Ответ: а) $(1;10;23)$, $(2;9;22),$ $(3;8;21),$ $(4;7;20)$, $(5;6;19).$ б) нет; в) $6$. Решение

 5. (Т/Р МИОО, 2016) Возрастающие арифметические прогрессии $a_1,a_2,…,a_n,…$ и $b_1,b_2,…,b_n,…$ состоят из натуральных чисел.

а) Существуют ли такие прогресcии, для которых  $\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2}$ и $\frac{a_4}{b_4}$ – различные натуральные числа?

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых $\frac{a_1}{b_1},\frac{b_2}{a_2}$ и $\frac{a_4}{b_4}$ – различные натуральные числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь $\frac{a_2}{b_2},$ если известно, что $\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2}$ и $\frac{a_{10}}{b_{10}}$ – различные натуральные числа? Ответ: a) да; б) нет; в) $2$. Решение

6. (Досрочн., 2016) Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) Является ли множество {$200;201;202;…;299$} хорошим?
б) Является ли множество {$2;4;8;…;2^{100}$} хорошим?
в) Сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества

{$1;2;4;5;7;9;11$}?

Ответ: а) да; б) нет; в) $8$. Решение

7. (Т/Р Ларина) Рассматриваются дроби вида $\frac{n}{n+1},$ где $n\in N.$

а) Может ли сумма нескольких попарно различных дробей вида $\frac{n}{n+1}$ быть целым числом?

б) Может ли сумма двух различных дробей вида $\frac{n}{n+1}$ равняться дроби вида $\frac{n}{n+1}$?

в) Найдите наименьшее количество попарно различных дробей вида $\frac{n}{n+1},$ сумма которых больше $10.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $11$. Решение

8. (Т/Р Ларина) Решите в целых числах уравнение

а) $2x^2+5y^2=7;$

б) $2x^2-5y^2=7;$

в) $2x^2+5y^2=7xy.$

Ответ: а) $(1;1),(1;-1),(-1;1),(-1;-1)$; б) решений нет; в) $(n;n), (5n;2n), n\in Z.$ Решение

9. (Т/Р Ларина) Многозначное число 123456789101112…9991000 получено в результате последовательной записи без пробелов тысячи первых натуральных чисел.

а) Какое наибольшее количество одинаковых цифр, стоящих рядом, содержится в записи этого числа?
б) Сколько всего цифр содержится в записи данного числа?
в) Какая цифра в записи этого числа стоит на 2016‐м месте?

Ответ: а) 5; б) 2893; в) 8. Решение

10. (Т/Р Ларина) На доске записаны два натуральных числа: 672 и 560. За один ход разрешается любое из этих чисел заменить модулем их разности либо уменьшить вдвое (если число чётное).
а) Может ли через несколько ходов на доске оказаться два одинаковых числа?
б) Может ли через несколько ходов на доске оказаться число 2?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое может оказаться на доске в результате выполнения таких ходов. Ответ: а) да; б) нет; в) $7.$  Решение

11. (Т/Р Ларина) Целые числа $x,y$ и $z$ в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.

а) Могут ли числа $x+3$, $y^2$ и $z+5$ образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

б) Могут ли числа $5x$, $y$ и $3z$ образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

в) Найдите все $x,y$ и $z$, при которых числа $5x+3,y^2$  и  $3z+5$ будут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию. Ответ:  а) да; б) нет; в) $2;6;18$ или $2;-6;18.$ Решение

12. (Т/Р Ларина) Имеется пять палочек с длинами $2, 3, 4, 5, 6$.
а) Можно ли, используя все палочки, сложить равнобедренный треугольник?

б) Можно ли, используя все палочки, сложить прямоугольный треугольник?

в) Какой наименьшей площади можно сложить треугольник, используя все палочки? (Разламывать, палочки нельзя). Ответ: а) да; б) нет; в) $4\sqrt5.$ Решение

13. (Т/Р Ларина)  Про натуральное пятизначное число N известно, что оно делится на $12$, и сумма его цифр делится на $12$.

А) Могут ли все пять цифр в записи числа N быть различными?
Б) Найдите наименьшее возможное число N;
В) Найдите наибольшее возможное число N;
Г) Какое наибольшее количество одинаковых цифр может содержаться в записи числа N? Сколько всего таких чисел N (содержащих в своей записи наибольшее количество одинаковых цифр)?

Ответ: а) да; б) $10056$; в) $99972$; г) $4$; $12$. Решение

14. (Т/Р Ларина) а) Может ли разность квадратов двух натуральных чисел равняться кубу натурального числа?

б) Может ли разность кубов двух натуральных чисел равняться квадрату натурального числа?
в) Найдите все простые числа, каждое из которых равно разности кубов двух простых чисел.

Ответ: а) да; б) да; в) $19$. Решение

15. (Т/Р Ларина) Дан клетчатый квадрат размером 6х6.

а) Можно ли этот квадрат разрезать на десять попарно различных клетчатых многоугольников?
б) Можно ли этот квадрат разрезать на одиннадцать попарно различных клетчатых многоугольников?
в) На какое наибольшее число попарно различных клетчатых прямоугольников можно разрезать этот квадрат? Ответ: а) да; б) нет; в) 8. Решение

16. (Т/Р Ларина) a) Найти натуральное число $n$ такое, чтобы сумма $1+2+3+…+n$ равнялась трехзначному числу, все цифры которого одинаковы.

б) Сумма четырех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна $1$, а сумма кубов этих чисел равна $0,1$. Найти эти числа.

Ответ: а) $36;$ б) $0,1;0,2;0,3;0,4.$ Решение

17. (Т/Р, 2017) Конечная возрастающая последовательность [latexpage]$a_1;a_2;…;a_n$ состоит из $n\geq 3$ различных натуральных чисел, причём при всех натуральных $k\leq n-2$ выполнено равенство $4a_{k+2}=7a_{k+1}-3a_{k}$.

а) Приведите пример такой последовательности при $n=5$.
б) Может ли в такой последовательности при некотором $n\geq 3$ выполняться равенство $a_{n}=4a_{2}-3a_{1}$?

в) Какое наименьшее значение может принимать $a_1$, если $a_n = 527$?

Ответ: a) $1;65;113;149;176;$ б) нет; в) $2.$ Решение

18. (Т/Р Ларина) Заданы числа: $1,2,3,..,100$. Можно ли разбить эти числа на три группы так, чтобы

a) в каждой группе сумма чисел делилась на $3$.
б) в каждой группе сумма чисел делилась на $10$.
в) сумма чисел в одной группе делилась на $102$, сумма чисел в другой группе делилась на $203$, а сумма чисел в третьей группе делилась на умма чисел в одной группе делилась на $102$, сумма чисел в другой группе делилась на $203$, а сумма чисел в третьей группе делилась на $304$?

Ответ: а) нет; б) да; в) нет. Решение

19. (Т/Р Ларина) Последовательные нечетные числа сгруппированы следующим образом: $(1); (3;5); (7;9;11);(13;15;17;19)…$

а) Найти сумму чисел в десятой группе;
б) Найти сумму чисел в сотой группе;
в) Определить среди первых ста групп количество групп, в которых сумма чисел делится на $3$.

Ответ: a) $1000;$  б) $1000000;$ в) $33.$ Решение

20. (Т/Р Ларина) Пусть $S_n$ – сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии {$a_n$}.

Известно,что $S_{n+1}=2n^2 –21n–23$.
а) Укажите формулу $n$‐го члена этой прогрессии.
б) Найдите наименьшую по модулю сумму $S_n$.
в) Найдите наименьшее $n$, при котором $S_n$ будет квадратом целого числа.

Ответ: a) $4n-27;$ б) $12;$ в) $25.$ Решение

21. (Т/Р Ларина) Василий Кузякин возвращался из санатория домой на поезде. На перроне одной из ж/д станций продавали варёных раков: больших – по $200$ руб. за штуку, средних – по $150$ руб. за штуку и маленьких – по $100$ руб. за штуку. Василий решил потратить на покупку раков последние пять тысяч рублей. Для себя он определил, что непременно купит и больших, и средних, и маленьких, причём их количества не будут отличаться более, чем на $2$.

a) Сможет ли Василий при таких условиях купить раков ровно на $5000$ рублей?

б) Сможет ли Василий при таких условиях купить $14$ больших раков?
в) Какое наибольшее число раков сможет купить Василий при таких условиях?

Ответ: а) да; б) нет; в) $34.$ Решение

22. (Т/Р Ларина) а) Найдите значение выражения $tg1^{\circ}\cdot tg2^{\circ}\cdot tg3^{\circ}\cdot …\cdot tg88^{\circ}\cdot tg89^{\circ}.$

б) Докажите, что $tg40^{\circ}+tg55^{\circ}+tg85^{\circ}=tg40^{\circ}\cdot tg55^{\circ}\cdot tg85^{\circ}$.

в) Найдите значение выражения $(1+tg1^{\circ})\cdot (1+tg2^{\circ})\cdot …\cdot (1+tg44^{\circ})$.

Ответ: а) $1$; б) $2^{22}.$ Решение

23. (Т/Р Ларина) На доске записаны $20$ чисел: пять единиц, пять двоек, пять троек и пять четверок. Эти числа разбивают на две группы (в каждой группе не менее одного числа). Пусть среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, а среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$.

а) Может ли среднее арифметическое всех $20$ чисел оказаться равным $\frac{A+B}{2}$?
б) Может ли среднее арифметическое всех $20$ чисел оказаться меньше, чем $\frac{A+B}{2}$?

в) Найдите наименьшее возможное значение выражения $\frac{A+B}{2}$.

Ответ: a) да; б) да; в) $1\frac{15}{19}.$ Решение

 24. (Т/Р Ларина) Дано двузначное натуральное число.

а) Оказалось, что частное этого числа и суммы его цифр, равно $7$. Найдите все такие числа.

б) Какие натуральные значения может принимать частное данного числа и суммы его цифр?
в) Какое наименьшее значение может принимать частное данного числа и суммы его цифр?

Ответ: а) $21;42;63;84;$ б) $2;3;4;5;6;7;8;9;10;$ в) $1,9.$ Решение

25. (Т/Р Ларина) Четырехзначное число $A$ содержит в своей десятичной записи попарно различные цифры, отличные от нуля. Число $B$ записано теми же цифрами, но в обратном порядке.

а) Найдите наибольшее значение выражения $A-B$.

б) Найдите наименьшее значение выражения $A-B$.

в) Найдите числа $A$ и $B$, для которых значение выражения $\frac{A}{B}$ будет наименьшим.

Ответ: а) $8532;$ б) $279;$ в) $8197, 7918.$ Решение

26. (Т/Р Ларина)  Даны $n$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию ($n>3$).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной $14$?
б) Каково наибольшее значение $n$, если сумма всех данных чисел меньше $900$?

в) Найдите все возможные значения $n$, если сумма всех данных чисел равна $123$.

Ответ: а) да; б) $41$; в) $6.$ Решение

27. (Т/Р Ларина) Натуральные числа от $1$ до $12$ разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные $6$ чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться $0$?
б) Может ли в результате получиться $1$?
в) Какое наименьшее возможное значение полученного результата?

Ответ: а) нет; б) нет; в) $4.$ Решение

28. (Т/Р Ларина) На листочке написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной $1485$. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число $23$ заменили на число $32$).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в $3$ раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в $9$ раза меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Ответ: а) $92;92;…;92;13$ ($92$ – $16$ раз); б) нет; в) $396.$ Решение

29. (Т/Р Ларина) Даны $n$ ( $n\geq 3$ ) различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию.
а) Может ли сумма всех данных чисел равняться $22$?
б) Может ли сумма всех данных чисел равняться $23$?

в) Найдите все возможные значения $n$, если сумма всех данных чисел равна $48$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $3;4;6.$ Решение

30. (Т/Р Ларина)  Пусть $S(N)$ – сумма цифр натурального числа $N$.

а) Может ли $N+S(N)$ равняться $96$?

б) Может ли $N+S(N)$ равняться $97$?
в) Найдите все $N$, для которых $N+S(N) = 2017.$

Ответ: a) да; б) нет; в) $1994;2012.$ Решение

31. (Т/Р Ларина) Подковывая лошадь, кузнец тратит на одну подкову $5$ минут.

а) Смогут ли два кузнеца за полчаса подковать трёх лошадей?

б) Смогут ли четыре кузнеца за $15$ минут подковать трёх лошадей?
в) За какое наименьшее время $48$ кузнецов смогут подковать $60$ лошадей?
(Известно, что лошадь не может стоять на двух ногах, поэтому два кузнеца не могут одновременно работать с одной лошадью).

Ответ: а) да; б) нет; в) $25.$ Решение

32. (Т/Р Ларина) а) Могут ли выполняться равенства $a_1+a_2+a_3+a_4=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4=30,$ где $a_1,a_2,a_3,a_4$ – целые числа?

б) Могут ли выполняться равенства $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5\cdot a_6\cdot a_7=60,$ где $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7$ – целые числа?
в) При каком наименьшем номере  $n\geq 2$ могут выполняться равенства

$a_1+a_2+…+a_n=a_1\cdot a_2\cdot …\cdot a_n=2018,$ где $a_1,a_2,…,a_n$ – целые числа?

Ответ: а) нет; б) нет; в) $5.$ Решение

33. (Т/Р Ларина) Дано трехзначное натуральное число, не кратное $100.$

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $89$?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $86$?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Ответ: а) да; б) нет; в) $91.$ Решение

34. (Т/Р Ларина) 

а) Можно ли записать точный квадрат, использовав по $10$ раз цифры $1,2,3$?

б) Можно ли записать точный квадрат, использовав по $10$ раз цифры $2,3,6$?
в) Может ли сумма цифр точного квадрата равняться $1970$?

Ответ: а) нет; б) нет; в) нет Решение