07 Май 2023

Задания 13 ЕГЭ-2023

2024-01-20

смотрите также Сборник задач 14 ЕГЭ

1.1. (ЕГЭ 2023) Дана четырехугольная пирамида $SABCD,$ в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $10.$ Известно, что $SA=SC=10\sqrt2,SB=20$ и $AC=10.$

а)  Докажите, что ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды $ABCD.$

б)  Найдите расстояние между прямыми $AC$  и $SB.$

Решение Ответ: $2,5\sqrt3.$

1.2. (ЕГЭ 2023, аналог) Дана четырехугольная пирамида $SABCD,$ в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $5.$ Известно, что $SA=SC=5\sqrt2,SB=10$ и $AC=5.$

а)  Докажите, что ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды $ABCD.$

б)  Найдите расстояние между прямыми $AC$  и $SB.$

Ответ: $\frac{5\sqrt3}{4}.$

2.1. (ЕГЭ 2023) Дана прямая призма ABCA1B1C1.  ABC  — равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP : PB  =  3 : 1. Точка Q делит пополам ребро B1C1. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярная PQ.

а)  Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α.

б)  Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, если AA1  =  5, AB  =  12 и $cos ABC=\frac{3}{5}.$ 

Решение Ответ: 16:25.

2.2. (ЕГЭ 2023) Дана прямая призма ABCA1B1C1.  ABC  — равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP : PB  =  3 : 1. Точка Q делит пополам ребро B1C1. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярная PQ.

а)  Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α.

б)  Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, если AA1  =  10, AB  =  20 и $cos ABC=\frac{5}{13}.$ 

Ответ: 36:25.

3.1. (ЕГЭ 2023) Дана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренная трапеция с основаниями $AD = 5$ и $BC= 4.$ $M$ – точка, которая делит сторону $A_1D_1$ в отношении $1:4,$ считая от $A_1,$ $K$ – середина $DD_1.$

a) Доказать, что $MCK$||$BD.$
б) Найти тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания, если $\angle BAD $= 60°, a $\angle CKM$ = 90°.
Решение Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{2}.$

3.2. (ЕГЭ 2023) Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями $AD = 3$ и $BC= 2.$ $M$ – точка, которая делит сторону $A_1D_1$ в отношении $1:2,$ $K$ – середина $DD_1.$

a) Доказать, что $MCK$||$BD.$
б) Найти тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания, если $\angle BAD $= 60°, a $\angle CKM$ = 90°.
Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{3}.$

4.1. (ЕГЭ 2023) В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=5, BC=3.$ Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=2:3,$ а точка $K$  — середина ребра $DD_1.$

а)  Докажите, что плоскость $MKC$ делит отрезок $BB_1$ пополам.

б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MKC,$ если $\angle MKC=90^{\circ},\angle ADC=60^{\circ}.$

Решение Ответ: $\frac{12\sqrt{21}}{5}.$

4.2. (ЕГЭ 2023) В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3, BC=2.$ Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=1:2,$ а точка $K$  — середина ребра $DD_1.$

а)  Докажите, что плоскость $MKC$ делит отрезок $BB_1$ пополам.

б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MKC,$ если $\angle MKC=90^{\circ},\angle ADC=60^{\circ}.$

Ответ: $\frac{7\sqrt{10}}{6}.$

5.1. (ЕГЭ 2023) Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелограмм. На рёбрах $A_1B_1, B_1C_1,$  и $BC$ отмечены точки $M,K$ и $N$ соответственно, причем $B_1K:KC_1=1:2,$  а $AMKN$  — равнобедренная трапеция с основаниями $2$ и $3.$

a)  Докажите, что $N$  — середина $BC.$

б)  Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объем призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $12,$ а ее высота равна $2.$

Решение Ответ: $\frac{5\sqrt{37}}{6}.$

5.2. (ЕГЭ 2023) Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелограмм. На рёбрах $A_1B_1, B_1C_1,$  и $BC$ отмечены точки $M,K$ и $N$ соответственно, причем $B_1K:KC_1=1:3,$  а $AMKN$  — равнобедренная трапеция с основаниями $3$ и $6.$

a)  Докажите, что $N$  — середина $BC.$

б)  Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объем призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $24,$ а ее высота равна $3.$

Ответ: $\frac{3\sqrt{82}}{2}.$

6.1.  (Досрок 2023) Дан тетраэдр $ABCD,$ на ребрах $AC, AD, BD, BC$ отмечены точки $K, L, M, N$ соответственно так, что $AK:KC=3:7,$ а $KLMN$  — квадрат со стороной $3.$
а)  Докажите, что $BM:MD=3:7.$

б)  Найдите расстояние от точки $C$ до $KLM, $ если известно, что объем тетраэдра $ABCD$ равен $50. $
Решение Ответ: б)  $4,9.$

6.2.  (Досрок 2023) Дан тетраэдр $ABCD.$ На ребре $AC$ выбрана точка $K$ так, что $AK:KC=3:7.$ Также на ребрах $AD, BD, BC$ выбраны точки $L, M ,N$ соответственно так, что $KLMN$  — квадрат со стороной $3.$

а)  Докажите, что ребра $AB $и $CD$ взаимно перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $KLMN,$ если объем тетраэдра $ABCD$ равен $ 100. $
Ответ: б) $4,2.$

7.1.  (ЕГЭ 2023) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка M является серединой ребра BB1, а точка N  — середина ребра A1C1. Плоскость α, параллельная прямым AM и B1N, проходит через середину отрезка B1M.

a)  Докажите, что плоскость α проходит через середину отрезка B1C1.

б)  Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α , если все ребра этой призмы равны 4.

Решение Ответ: $\frac{7\sqrt6}{2}.$

7.2.  (ЕГЭ 2023) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка M является серединой ребра CC1, а точка N  — середина ребра $A_1B_1$ Плоскость α, параллельная прямым AM и C1N, проходит через середину отрезка C1M.

a)  Докажите, что плоскость α проходит через середину отрезка B1C1.

б)  Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α , если все ребра этой призмы равны 12. 

Ответ: $\frac{63\sqrt6}{2}.$

8.1.   (Досрок 2023)  На рёбрах $AC,AD,BD,BC$  тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $K,L,M,N$ соответственно, причём $AK : KC  =  2:3. $ Четырёхугольник $KLMN$ – квадрат.
а)  Докажите, что $AB:CD=2:3.$
б)  Найдите объём пирамиды $KNMC,$ если объём тетраэдра $ABCD$ равен $25.$
Решение Ответ: б) $3,6.$
 
8.2.   (Досрок 2023) Дан тетраэдр $ABCD$. Точки $K,L,M,N$ лежат на ребрах  $AC,AD,DB,BC$ соответственно, так, что четырехугольник $KLMN$ — квадрат, и $AK:KC=3:7.$
а)  Докажите, что $AB:CD=3:7.$
б)  Найдите объём пирамиды $CKLMN$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен $100.$
Ответ: б) $29,4.$
9.1.  (Досрок 2023) В основании пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$. На боковых рёбрах $SA,SC,SD$ отмечены точки $K,L,M$ соответственно так, что $SK:KA=SL:LC=2:1$ и $SM=MD.$

а)  Докажите, что плоскость $KML$ содержит точку $B.$

б)  Найдите объём пирамиды $BAKMD,$ если площадь параллелограмма $ABCD$ равна $18,$ а высота пирамиды $SABCD$ равна $7.$

Решение Ответ: б)  $14.$

9.2.  (Досрок 2023) В основании пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$. На боковых рёбрах $SA,SC,SD$ отмечены точки $K,L,M$ соответственно так, что $SK:KA=SL:LC=2:1$ и $SM=MD.$
а)  Докажите, что плоскость $KML$ содержит точку $B.$
б)  Найдите объём пирамиды $BAKMD,$ если площадь параллелограмма $ABCD$ равна $21,$ а высота пирамиды $SABCD$ равна $12.$

Ответ: б)  $28.$

10.1.    (Досрок 2023) В четырёхугольной пирамиде $SABCD$  с основанием $ABCD$ длины всех боковых ребер равны длине ребра $AD,$ а длина каждого из рёбер  $AB,BC,CD$A ровно в два раза меньше, чем длина ребра $AD.$

а)  Докажите, что высота пирамиды проходит через середину ребра $AD.$
б)  Найдите, в каком отношении плоскость $BMN$ делит высоту пирамиды, считая от вершины $S,$ если точка $M$ — середина ребра $SD,$ а точка $N$ делит ребро $SC$ в отношении $SN:NC=3:1.$

Ответ: б)  $3 : 2.$

10.2.   (Досрок 2023) В четырёхугольной пирамиде $SABCD$  с основанием $ABCD$ длины всех боковых ребер равны длине ребра $AD,$ а длина каждого из рёбер  $AB,BC,CD$A ровно в два раза меньше, чем длина ребра $AD.$

а)  Докажите, что высота пирамиды проходит через середину ребра $AD.$

б)  Найдите, в каком отношении плоскость $BMN$ делит высоту пирамиды, считая от вершины $S,$ если точка $M$ делит $SD$ в отношении $1:3,$ считая от вершины, а точка $N$ – середина ребра $SC.$

Ответ: б) $1:2.$

11.1. (ЕГЭ 2023, резерв) В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD. На ребрах SA, SB, SC и SD отмечены точки L, K, N и M соответственно так, что четырехугольник KLMN  — трапеция с основанием KL  =  3 и MN  =  2. Известно, что $SK:KB=3:1.$

а)  Докажите, что плоскость KLM пересекает ребра SC и SD в их серединах.

б)  Найдите высоту SH пирамиды, если точка пересечения  диагоналей основания  пирамиды совпадает с точкой H, площадь основания равна 24, а площадь сечения KLMN  =  10.

Решение Ответ: $\sqrt{31}.$
 
11.2.     (ЕГЭ 2023, резерв) В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD. На ребрах SA, SB, SC и SD отмечены точки L, K, N и M соответственно так, что четырехугольник KLMN  — трапеция с основанием KL  =  6 и MN  =  4. Известно, что $SK:SB=3:4.$
а)  Докажите, что плоскость KLM пересекает ребра SC и SD в их серединах.
 
б)  Найдите высоту SH пирамиды, если точка пересечения диагоналей основания пирамиды совпадает с точкой H, площадь основания равна 72, а площадь сечения KLMN  =  30.
Ответ: $\frac{3\sqrt{31}}{2}.$

12.1. (ЕГЭ 2023, резерв) В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD. Плоскость α пересекает ребра SA, SB, SC и SD в точках L, K, N и M соответственно, причем SK : KB  =  3 : 1, а точки L и M  — середины ребер SA и SD.

а)  Докажите, что четырехугольник KLMN является трапецией, длины оснований которой относятся как 2 : 3.

б)  Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостями ABC и α равен 30°, площадь сечения пирамиды плоскостью α равна $10\sqrt2,$ а площадь основания пирамиды равна 32.

Решение Ответ: $8.$

12.2. (ЕГЭ 2023, резерв)  В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD. Плоскость α пересекает ребра SA, SB, SC и SD в точках L, K, N и M соответственно, причем SK : KB  =  2 : 1, а точки L и M  — середины ребер SA и SD.

а)  Докажите, что четырехугольник KLMN является трапецией, длины оснований которой относятся как 3 : 4.

б)  Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостями ABC и α равен 45°, площадь сечения пирамиды плоскостью α равна $14\sqrt3,$ а площадь основания пирамиды равна 54.

Ответ: $24.$

13.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Грани ABD и  ACD тетраэдра ABCD являются правильными треугольниками со стороной 10 и перпендикулярны друг другу. На рёбрах AB, AD и CD отмечены точки  K, L и M соответственно, причём BK  =  2, AL  =  4,  MD  =  3.

а)  Докажите, что плоскость  KLM перпендикулярна ребру CD.

б)  Найдите длину отрезка пересечения грани ABC и плоскости  KLM.

Решение Ответ: $\frac{2\sqrt6}{3}.$

13.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Грани ABD и ACD тетраэдра ABCD являются правильными треугольниками со стороной 3 и перпендикулярны друг другу. На рёбрах АВ, AD  и CD отмечены точки K, L и M соответственно, причём BK=AL=MD=1. 

а)  Докажите, что плоскость KLM перпендикулярна ребру CD.

б)  Найдите длину отрезка пересечения грани ABC с плоскостью KLM.

Ответ: $\frac{\sqrt6}{3}.$
Автор: egeMax | Нет комментариев
Категория: 14 Стереометр. задачи
07 Май 2023

Задания 15 ЕГЭ 2023

2023-09-03

См. СБОРНИК ЗАДАНИЙ 16 ЕГЭ

0.1. (ЕГЭ 2023) В июле 2023 года планируется взять кредит на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь с 2024 по 2028 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;

— каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2033 года долг должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1470 тысяч рублей?

Решение Ответ 750000.

0.2. (ЕГЭ 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1125 тысяч рублей?

Ответ: 600000.


1.1. (ЕГЭ 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы:каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле каждого из годов с 2026 по 2030 долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года;

– в июле каждого из годов с 2031 по 2035 долг уменышается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года, отличную от суммы, на которую долг убывал в первые пять лет.

Известно, что в конце 2030 года долг составил 800 тысяч рублей. Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч.

Решение Ответ: $1300000$ рублей.

1.2. (ЕГЭ 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 700 тыс. руб. на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года (r  — целое число);

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

— в июле 2030 года долг должен составлять 600 тыс. руб.;

— в июле каждого из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года; 

—  к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма выплат по кредиту составит 2230 тыс. руб. Найдите, сколько рублей составит платёж в 2035 году.

Ответ: 156000.

2.1. (ЕГЭ 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

—  к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.

Найдите платёж в 2026 году, если общая сумма выплат по кредиту составила 2120 тыс. рублей.

Решение Ответ: 300 тысяч рублей.

2.2. (ЕГЭ 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 700 тыс. руб. на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

— в июле каждого из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

—  к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен.

Известно, что сумма выплат по кредиту составит 1420 тыс. руб. Найдите, сколько рублей составит выплата в 2026 году.

Ответ: 220 тысяч рублей.

3.1. (ЕГЭ 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 1300 тыс. руб. на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

— в июле каждого из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

—  к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен.

Известно, что сумма выплат по кредиту составит 2580 тыс. руб. Найдите, сколько рублей составит долг в июле 2030 года.

Решение Ответ: 500000.

3.2. (ЕГЭ 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 800 тыс. руб. на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

— в июле каждого из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

—  к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен.

Известно, что сумма выплат по кредиту составит 1970 тыс. руб. Найдите, сколько рублей составит долг в июле 2030 года.

Ответ: 300000.

4.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: 

—  каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года; 

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на $104 800$ рублей больше суммы, взятой в кредит?

Решение Ответ: $300000$

4.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом;

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, на какую сумму взяли кредита банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита.
Ответ: $119700.$

5.1. (ЕГЭ 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 800 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года (r  — целое число);

—  с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2030 года долг должен составлять 200 тыс. руб.;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

—  к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.

Найдите  r, если общая сумма выплат по кредиту составила 1480 тыс. руб.

Решение Ответ: 20.

5.2. (ЕГЭ 2023) В июле 2025 планируется кредит на десять лет в размере 600 тыс. руб. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года (r  — целое число);

—  с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

—  в 2030 году долг составит 400 тыс. руб/;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

—  к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Найдите r, если общая сумма выплат после полного погашения кредита будет равна 1740 тыс. руб.

Ответ: 30.

6.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) В июле 2023 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на $20$% по сравнению с предыдущим годом;

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года), а общая сумма выплат равна $311 040$ рублей?

Решение Ответ: $201300$ рублей.

6.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) В июле 2023 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на $25$% по сравнению с предыдущим годом;

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года), а общая сумма выплат равна $375 000$ рублей?

Ответ: $221400$ рублей.

7.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) 15 января Алексей планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата следующие:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r  — целое число;

— платёж должен вноситься один раз в месяц, со 2-го по 14-е число каждого месяца;

— 15-го числа каждого месяца размер долга должен соответствовать долгу, указанному в таблице.

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма платежей больше 1,4 млн рублей.

Решение Ответ: $12.$

7.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) 15 января Алексей планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1,2 млн рублей. Условия его возврата следующие:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r  — целое число;

— выплата должна производиться ежемесячно в период со 2-го по 14-е число каждого месяца;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение r, при котором Алексею в общей сумме придётся выплатить больше 1,7 млн рублей.

Ответ: $13.$

8.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Вклад в размере 10 млн руб. планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает размер вклада на 10 %. Кроме того в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на x млн руб., где  x  — целое число. Найдите наименьшее значение x, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн руб.

Решение Ответ: 8.

8.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн рублей, где х  — целое число. Найдите наибольшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей.

Ответ: 24.
Автор: egeMax | Нет комментариев
Категория: 16 Практич. задачи
04 Май 2023

Задания 14 ЕГЭ 2023

2023-09-01


!!! Сборник заданий 14 !!!



1.1. (Реальный ЕГЭ 2023) Решите неравенство:

$(log^2_{0,2} (x-5)-log_5(x^2-10x+25)+1)\cdot log_5(x-7)\leq 0$

Решение Ответ: $(7;8]\cup${$10$}

1.2. (Реальный ЕГЭ 2023) Решите неравенство:

$(log^2_{0,25} (x+3)-log_4(x^2+6x+9)+1)\cdot log_4(x+2)\leq 0$

Ответ: $(-2;-1]\cup${$1$}



2.1. (Реальный ЕГЭ 2023) Решите неравенство:

$log_{4} ((x-5)(x^2-2x-15))+1\geq 0,5log_2(x-5)^2$

Решение Ответ: $[-2\frac{3}{4}; 5)\cup (5;+\infty)$

2.2. (Реальный ЕГЭ 2023) Решите неравенство:

$log_{25} ((x-4)(x^2-2x-8))\geq 0,5log_5(x-4)^2+1$

Ответ: $[23;+\infty )$


3.1. (Реальный ЕГЭ 2023) Решите неравенство:

$log_{27} (x^3-9x^2+27x-27)\geq log_3(x^2-9)-4$

Решение Ответ: $( 3;78]$

3.2. (Реальный ЕГЭ 2023) Решите неравенство:


$log_{8} (x^3-3x^2+3x-1)\geq log_2(x^2-1)-5$

Ответ: $( 1;31]$


4.1. (Реальный ЕГЭ 2023) Решите неравенство:

$log^2_3(x-4)-log^2_3(x-6)\leq 0$

Решение Ответ: $(6;5+\sqrt{2}]$

4.2. (Реальный ЕГЭ 2023) Решите неравенство:

$log^2_5(x-4)-log^2_5(x-6)\leq 0$

Ответ: $(6;5+\sqrt{2}]$

5.1. (Реальный ЕГЭ 2023) Решите неравенство:


$\large\frac{log_3(3-x)-log_3(x+2)}{log_3^2(x^2)+log_3(x^4)+1}\geq 0$

Решение Ответ: $(-2;-\frac{\sqrt{3}}{3})\cup(-\frac{\sqrt{3}}{3};0)\cup(0;\frac{1}{2}]$

5.2. (Реальный ЕГЭ 2023) Решите неравенство:

$\large\frac{log_5(4-x)-log_5(x+5)}{log_3^2(x^2)-log_3(x^4)+1}\geq 0$

Ответ: $(-5;-\sqrt{3})\cup(-\sqrt{3};-0,5]$

6.1. (Реальный ЕГЭ 2023) Решите неравенство:

$\large \frac{log_2x^2-log_3x^2}{log_6^2(2x^2-10x+12,5)+1}\geq 0$

Решение Ответ: $(-\infty;-1]\cup [1;1,25)\cup (1,25;+\infty).$

6.2. (Реальный ЕГЭ 2023) Решите неравенство:

$\large \frac{log_3x^2-log_5x^2}{log_2^2(2x^2-6x+4,5)+1}\geq 0$

Ответ: $(-\infty;-1]\cup [1;1,5)\cup (1,5;+\infty).$

7.1. (Пробный ЕГЭ 2023) Решите неравенство:

$\large \log_{4}( x-3) (10+3x-x^{2}) +\log_{4}\frac{7-x}{10+3x-x^{2}}\leq -1+\log _{4}( 2x+4).$

Решение Ответ: $ ( 3; 4].$

7.2. (Пробный ЕГЭ 2023) Решите неравенство:

$\large \log_{5}( x-2) ( 24+2x-x^{2}) ) +\log_{5}\frac{9-x}{24+2x-x^{2}}\leq -1+\log _{5}(12x).$

Ответ: $(2;3,6]\cup[5;6).$

8.1. (Досрок 2023) Решите неравенство:

$\Large \frac{9^x-3^{x+1}-19}{3^x-6}+\frac{9^{x+1}-3^{x+4}+2}{3^x-9}\leq \large 10\cdot 3^x+3.$

Решение Ответ: $(-\infty;1]\cup(log_36;2).$

8.2. (Досрок 2023) Решите неравенство:

$\Large \frac{4^x+2^{x+1}-36}{2^x-5}+\frac{4^{x+1}-2^{x+5}+4}{2^x-8}\leq \large 5\cdot 2^x+7.$

Ответ: $(-\infty;2]\cup(log_25;3).$

9.1. (Досрок 2023) Решите неравенство:

$\Large \frac{8^{x+\frac{2}{3}}-9\cdot 4^{x+\frac{1}{2}}+13\cdot2^x-13}{4^{x+\frac{1}{2}}-9\cdot 2^{x}+4}\leq \large 2^{x+1}-\frac{1}{2^x-2}+\frac{3}{2^{x+1}-1}.$

Решение Ответ: $(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup [log_23;2).$

9.2. (Досрок 2023) Решите неравенство:

$\Large \frac{27^{x+\frac{1}{3}}-10\cdot 9^x+10\cdot 3^x-5}{9^{x+\frac{1}{2}}-10\cdot 3^{x}+3}\leq \large 3^{x}+\frac{1}{3^x-2}+\frac{1}{3^{x+1}-1}.$

Ответ: $(-\infty;-1)\cup(-1;0]\cup (log_32;1).$

10.1. (Досрок 2023) Решите неравенство:

$\Large \frac{4^x-2^{x+3}+7}{4^x-5\cdot 2^x+4}\leq \frac{2^x-9}{2^x-4}+\frac{1}{2^{x}-6}.$

Решение Ответ: $(-\infty;0)\cup(0;2)\cup (log_26;3].$

10.2. (Досрок 2023) Решите неравенство:

$\Large 2^x+\frac{2^{x+2}}{2^x-4}+\frac{4^x+7\cdot 2^x+20}{4^x-3\cdot 2^{x+2}+32}\leq 1.$

Ответ: $(-\infty;0]\cup[log_23;2)\cup (2;3).$

11.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Решите неравенство:

$\large 9^{4x-x^2-1}-36\cdot3^{4x-x^2-1}+243\geq 0$

Ответ: $(-\infty;1]\cup${$2$}$\cup (3;+\infty).$

11.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Решите неравенство:

$\large 4^{6x-x^2-4}-34\cdot3^{6x-x^2-3}+64\geq 0$

Решение Ответ: $(-\infty;1]\cup${$3$}$\cup (5;+\infty).$
Автор: egeMax | Нет комментариев
Категория: 15 Неравенства
01 Май 2023

Задания 12 ЕГЭ-2023

2023-08-19

Читать далее

Автор: egeMax | Нет комментариев | Метки: ,
Категория: 13 Уравнения
24 Окт 2022

Тест “Гиперболы”

2022-10-24

Разбор заданий, аналогичных заданиям теста, смотрите здесь
Автор: egeMax | Нет комментариев
Категория: Справочные материалы
23 Сен 2022

Тест. Графики функций. Комбинированные задачи

2022-09-23

 

Разбор заданий, аналогичных заданиям теста, смотрите здесь
Автор: egeMax | Нет комментариев
Категория: Тесты по темам
23 Сен 2022

10. Графики функций. Комбинированные задачи

2023-06-13

Читать далее

Автор: egeMax | Нет комментариев
Категория: 11 Графики функций
16 Сен 2022

Тест. Тригонометрические функции

2022-09-16

Разбор заданий, аналогичных заданиям теста, смотрите здесь
Автор: egeMax | Нет комментариев
Категория: Тесты по темам
16 Сен 2022

10. Тригонометрическая функция

2023-06-13

Читать далее

Автор: egeMax | Нет комментариев
Категория: 11 Графики функций
15 Сен 2022

Тест. Кусочно-линейная функция

2022-09-15

Разбор заданий, аналогичных заданиям теста, смотрите здесь
Автор: egeMax | Нет комментариев
Категория: Тесты по темам
15 Сен 2022

10. Кусочно-линейная функция

2023-06-13

Читать далее

Автор: egeMax | Нет комментариев
Категория: 11 Графики функций
13 Сен 2022

Тест. Показательные, логарифмические и степенные функции

2022-09-13

Разбор заданий, аналогичных заданиям теста, смотрите здесь

 
Автор: egeMax | Нет комментариев
Категория: Тесты по темам
13 Сен 2022

10. Показательные, логарифмические и степенные функции

2024-01-14

Читать далее

Автор: egeMax | Нет комментариев
Категория: 11 Графики функций
11 Янв 2022

Тест “Линейная функция”

2022-01-11

Разбор заданий, аналогичных заданиям теста, смотрите здесь
Автор: egeMax | Один комментарий
Категория: Справочные материалыТесты по темам
11 Янв 2022

10. Линейная функция

2023-06-13

Читать далее

Автор: egeMax | Нет комментариев
Категория: 11 Графики функций
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 61 62 63