Подготовка к ЕГЭ по математике

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре $CC_1$ взята точка $K$ так, что $CK:KC_1=1:4$, а на ребре $A_1C_1$ взята торчка $M$ так, что $A_1M:MC_1=1:2$.
а) Определите, в каком отношении плоскость $BKM$ делит ребро $A_1B_1$ призмы.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $BKM$. Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный
треугольник $ABC$, в котором $CB=CA=5$, $BA=6$. Высота призмы равна 10. Точка $M$ – середина ребра $AA_1$.
а) Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости $MBC_1$ и $ABC$.
б) Вычислите угол между плоскостями $MBC_1$ и $ABC$. Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Основанием пирамиды $PABC$ является правильный треугольник $ABC$ со стороной $6$. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол $\alpha=arccos0,6$. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Шар касается основания $ABC$ правильной треугольной пирамиды $SABC$ в точке $B$ и ее бокового ребра $SA$. Найдите радиус шара, если сторона основания пирамиды равна 3, а боковое ребро равно 4. Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20

Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $4$. Точка $N$ – середина ребра $CB$, а точка $M$ лежит на ребре $AA_1$, причем $AM:MA_1=3:1$. Определите расстояние между прямыми $MN$ и $BC_1$.

Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Центры вписанного и описанного шаров правильной четырехугольной пирамиды совпадают. Найдите двугранный угол при стороне основания пирамиды. Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20

В треугольной пирамиде два ребра, исходящие из одной вершины, равны по $\sqrt5$, а все остальные ребра равны по 2. Найдите объём пирамиды.

Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания равна $\sqrt2$, а боковое ребро равно 2. Точка $M$ – середина ребра $AA_1$. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $DA_1C_1$.
Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ известны ребра $AB=8\sqrt3$  и $SC=17$. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой $AM$, где $M$ – точка пересечения медиан грани $SBC$.

Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Основанием пирамиды является трапеция с основаниями 25 и 7 и острым углом arccos0,6. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом $60^{\circ}$.

а) Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы).
б) Найдите объем данной пирамиды.
Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20

Основанием пирамиды является равнобокая трапеция с основаниями 18 и 8. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом $60^{\circ}$.

а) Докажите, что существует точка $O$, одинаково удаленная от всех граней пирамиды (центр вписанной сферы).
б) Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.
Читать далее

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ равна 6, а высота 4. Точки $K$, $P$, $M$ – середины ребер $AB$, $BC$, $SD$.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки $K$, $M$, $P$.

б) Найдите площадь этого сечения.

Читать далее

Смотрите также  №15, №17, №18, №20
В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ длина высоты, опущенной из вершины $S$ на основание $ABCD$, равна $6\sqrt2$. Через точку касания с боковой гранью $SAB$ вписанного в эту пирамиду шара параллельно прямой $AB$ проведена плоскость, проходящая через ближайшую к вершине $S$ точку шара.
а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.
б) Найдите площадь сечения, если $AB=4\sqrt6.$

Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=8$, $BC=6,$ косинус угла между прямыми $BD$ и $AC_1$ равен $0,14$.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $B$ и $D$ параллельно прямой $AC_1$.
б) Найдите объем пирамиды, отсекаемой от параллелепипеда этой плоскостью.
Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20
В правильной четырехугольной пирамиде $PABCD$ боковое ребро $PA=6$, а сторона основания $AB=3\sqrt2$. Через вершину $A$ перпендикулярно боковому  ребру $PC$ проведена плоскость.
а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.
б) Найдите площадь полученного сечения.

Читать далее