Подготовка к ЕГЭ по математике

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.

В правильной треугольной пирамиде $PABC$ ($ABC$ – основание) $M$– точка пересечения медиан грани $PBC$.
a) Докажите, что прямая $AM$ делит высоту $PO$ пирамиды в отношении $3:1$, считая от точки $P$.
б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках $A$, $B$, $M$, $P$, если известно, что $AB=12$, $PC=10$. Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.

Дана правильная четырехугольной пирамида $PABCD$ с вершиной в точке $P$. Через точку $C$ и середину ребра $AB$ перпендикулярно к основанию пирамиды проведена плоскость $\alpha$.
a) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $BP$ в отношении $2:1$, считая от точки $B$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $\alpha$, если известно, что $PA=10$, $AC=16$.
Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.

Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$   $AB=BC=8$, $BB_1=6$. Точка $K$ – середина ребра $BB_1$, точка $P$ – середина ребра $C_1D_1$. Найдите:
а) площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $K$ и $P$ параллельно прямой $BD_1$;
б) объем большей части параллелепипеда, отсекаемой от него этой плоскостью. Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.

Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 12. Точка $P$ – середина ребра $CB$, точка $K$ лежит на ребре $CD$ так, что $KD:KC=1:2$. Плоскость, проходящая через точки $P$, $K$ и $A_1$ пересекает ребро $DD_1$ в точке $M$.
а) Докажите, что$ DM:D_1M=1:4$.
б) Найдите угол между плоскостями $PKA_1$ и $ABC$.
Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре $CC_1$ взята точка $K$ так, что $CK:KC_1=1:4$, а на ребре $A_1C_1$ взята торчка $M$ так, что $A_1M:MC_1=1:2$.
а) Определите, в каком отношении плоскость $BKM$ делит ребро $A_1B_1$ призмы.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $BKM$. Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный
треугольник $ABC$, в котором $CB=CA=5$, $BA=6$. Высота призмы равна 10. Точка $M$ – середина ребра $AA_1$.
а) Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости $MBC_1$ и $ABC$.
б) Вычислите угол между плоскостями $MBC_1$ и $ABC$. Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Основанием пирамиды $PABC$ является правильный треугольник $ABC$ со стороной $6$. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол $\alpha=arccos0,6$. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Шар касается основания $ABC$ правильной треугольной пирамиды $SABC$ в точке $B$ и ее бокового ребра $SA$. Найдите радиус шара, если сторона основания пирамиды равна 3, а боковое ребро равно 4. Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20

Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $4$. Точка $N$ – середина ребра $CB$, а точка $M$ лежит на ребре $AA_1$, причем $AM:MA_1=3:1$. Определите расстояние между прямыми $MN$ и $BC_1$.

Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Центры вписанного и описанного шаров правильной четырехугольной пирамиды совпадают. Найдите двугранный угол при стороне основания пирамиды. Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20

В треугольной пирамиде два ребра, исходящие из одной вершины, равны по $\sqrt5$, а все остальные ребра равны по 2. Найдите объём пирамиды.

Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания равна $\sqrt2$, а боковое ребро равно 2. Точка $M$ – середина ребра $AA_1$. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $DA_1C_1$.
Читать далее

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ известны ребра $AB=8\sqrt3$  и $SC=17$. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой $AM$, где $M$ – точка пересечения медиан грани $SBC$.

Читать далее