Подготовка к ЕГЭ по математике

2024

1.1. ( Пробник 2023) Банки «Стабильный» и «Креативный» предлагают своим клиентам открыть вклад сроком на три года без возможности снятия процентов на весь период вклада. В банке «Стабильный» установлена ежегодная ставка 10% годовых.

Банк «Креативный» предлагает ставку 8 % годовых в первый год и $n$% во второй и третий годы вложения денежных средств.

При каком наименьшем целом и вклад в банке «Креативный» будет выгоднее вклада в банке «Стабильный» при одинаковой сумме первоначального взноса?

Решение Ответ: $12.$

1.2. ( Пробник 2023) Банки  «Универсальный» и «Современный»  предлагают своим клиентам открыть вклад сроком на три года без возможности снятия процентов на весь период вклада. В банке «Стабильный» установлена ежегодная ставка 10% годовых.

Банк «Креативный» предлагает ставку 9 % годовых в первый год и $n$% во второй и третий годы вложения денежных средств.

При каком наименьшем целом и вклад в банке «Современный» будет выгоднее вклада в банке «Универсальный» при одинаковой сумме первоначального взноса? Ответ: $11.$

---

2023

---

1.1. (ЕГЭ 2023) В июле 2023 года планируется взять кредит на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь с 2024 по 2028 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;

— каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2033 года долг должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1470 тысяч рублей?

Решение Ответ 750000.

1.2. (ЕГЭ 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1125 тысяч рублей?

Ответ: 600000.

---

2.1. (ЕГЭ 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы:каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле каждого из годов с 2026 по 2030 долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года;

– в июле каждого из годов с 2031 по 2035 долг уменышается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года, отличную от суммы, на которую долг убывал в первые пять лет.

Известно, что в конце 2030 года долг составил 800 тысяч рублей. Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч.

Решение Ответ: $1300000$ рублей

2.2. (ЕГЭ 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 700 тыс. руб. на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года (r  — целое число);

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

— в июле 2030 года долг должен составлять 600 тыс. руб.;

— в июле каждого из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

—  к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма выплат по кредиту составит 2230 тыс. руб. Найдите, сколько рублей составит платёж в 2035 году.
Ответ: 156000.

---

3.1. (ЕГЭ 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

—  к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.

Найдите платёж в 2026 году, если общая сумма выплат по кредиту составила 2120 тыс. рублей.

Решение Ответ: 300 тысяч рублей.

3.2. (ЕГЭ 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 700 тыс. руб. на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

— в июле каждого из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

—  к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен.

Известно, что сумма выплат по кредиту составит 1420 тыс. руб. Найдите, сколько рублей составит выплата в 2026 году.
Ответ: 220000.

---

4.1. (ЕГЭ 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 1300 тыс. руб. на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

— в июле каждого из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

—  к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен.

Известно, что сумма выплат по кредиту составит 2580 тыс. руб. Найдите, сколько рублей составит долг в июле 2030 года.

Решение Ответ: 500000.
4.2. (ЕГЭ 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 800 тыс. руб. на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

— в июле каждого из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

—  к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен.

Известно, что сумма выплат по кредиту составит 1970 тыс. руб. Найдите, сколько рублей составит долг в июле 2030 года.

Ответ: 300000.

---

5.1. (ЕГЭ 2023) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 800 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года (r  — целое число);

—  с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2030 года долг должен составлять 200 тыс. руб.;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

—  к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.

Найдите  r, если общая сумма выплат по кредиту составила 1480 тыс. руб.

Решение Ответ: 20.

5.2. (ЕГЭ 2023) В июле 2025 планируется кредит на десять лет в размере 600 тыс. руб. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года (r  — целое число);

—  с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

—  в 2030 году долг составит 400 тыс. руб/;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

—  к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Найдите r, если общая сумма выплат после полного погашения кредита будет равна 1740 тыс. руб.

Ответ: 30.

---

6.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: 

—  каждый январь долг увеличивается на $25$% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на $104 800$ рублей больше суммы, взятой в кредит?
Ответ: $300000.$ Решение

6.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом;

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, на какую сумму взяли кредита банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита.

Ответ: $119700.$

---

7.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) В июле 2023 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на $20$% по сравнению с предыдущим годом;

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года), а общая сумма выплат равна $311 040$ рублей?

Ответ: $201300.$ Решение

7.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) В июле 2023 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на $25$% по сравнению с предыдущим годом;

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года), а общая сумма выплат равна $375 000$ рублей?

Ответ: $221400$ рублей.

---

8.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) 15 января Алексей планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата следующие:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r  — целое число;

— платёж должен вноситься один раз в месяц, со 2-го по 14-е число каждого месяца;

— 15-го числа каждого месяца размер долга должен соответствовать долгу, указанному в таблице.

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма платежей больше 1,4 млн рублей. Ответ: $12.$ Решение

8.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) 15 января Алексей планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1,2 млн рублей. Условия его возврата следующие:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r  — целое число;

— выплата должна производиться ежемесячно в период со 2-го по 14-е число каждого месяца;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение r, при котором Алексею в общей сумме придётся выплатить больше 1,7 млн рублей.

Ответ: $13.$

---

9.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Вклад в размере 10 млн руб. планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает размер вклада на 10 %. Кроме того в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на x млн руб., где  x  — целое число. Найдите наименьшее значение x, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн руб.

Решение Ответ: 8.

9.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн рублей, где х  — целое число. Найдите наибольшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей.

Ответ: 24.

---

До 2023

-10. (Реальный ЕГЭ, 2021) В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно r, если общая сумма выплат составит 930 тысяч рублей?

Ответ: $16.$ Решение

---

-9. (Реальный ЕГЭ, 2021)  В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму $700$ тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на $19$% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на $16$% по сравнению с концом предыдущего года;

— со февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Ответ: $1400$ тыс. рублей. Решение

---

-8. (ДЕМО ЕГЭ, 2020) 

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение r , при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.  Ответ: 7. Видеорешение

---

-7. (Реальный ЕГЭ, 2019) В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ млн. рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на $x$% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Найти $x$, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более $1,9$ млн. рублей, а наименьший – не менее $0,5$ млн. рублей.

Ответ: $25.$ Решение

---

-6. (Реальный ЕГЭ, 2019) В июле планируется взять кредит в банке на 15 лет. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на $x$% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Найти $x$, если известно, что за весь период выплатили на $15$% больше, чем взяли в кредит.

Ответ: $1,875.$ Решение

---

-5. (Реальный ЕГЭ, 2018) 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц.
Условия возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $3$% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на $30$ тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит $1604$ тысяч рублей?

Ответ: $1100$ тысяч рублей. Решение

---

-4. (Досрочный ЕГЭ, 2018) В июле 2018 года планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $20$% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей необходимо взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами, и банку будет выплачено $311 040$ рублей?

Ответ: $201300.$ Решение

---

-3. (Досрочный ЕГЭ, 2018) В регионе A среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял $43740$ рублей и ежегодно увеличивался на $25$%. В регионе B среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял $60 000$ рублей. В течение трёх лет суммарный доход жителей региона B увеличивался на $17$% ежегодно, а население увеличивалось на $m$% ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в регионах A и B стал одинаковым. Найдите $m.$ Ответ: $4.$ Решение

---

-2. (ЕГЭ 2017) В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг увеличивается на $r$% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по $58564$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $4$ года, а если ежегодно выплачивать по $106964$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $2$ года. Найдите $r$. Ответ: $10.$ Решение

---

-1. (ЕГЭ 2017) В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:
– в январе каждого года долг увеличивается на $30$% по сравнению с предыдущим годом

– с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом. Определите, на какую сумму взяли в кредит в банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на $156060$ рублей больше суммы взятого кредита.

Ответ: $239400.$ Решение

---

0. (ЕГЭ 2017) В июле планируется взять кредит в банке на сумму $18$ млн. рублей на неко- торый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $10$% по сравнению с концом преды- дущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила $27$ млн. рублей? Ответ: $9.$ Решение

---

1. (ЕГЭ 2016, резерв) Вклад в размере $10$ млн. рублей планируется открыть на четыре года. В конце
каждого года банк увеличивает вклад на $10$% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $x$ млн. рублей, где $x$ – целое число. Найдите наименьшее значение $x$, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше $7$ млн. рублей. Ответ: 8. Решение

---

2. (ЕГЭ, 2016) 15‐го января планируется взять кредит в банке на сумму $1$ млн рублей на $6$ месяцев. Условия его возврата таковы:
‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

‐ со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
‐ 15‐го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей. Ответ: 6. Решение

---

3. (Т/Р МИОО, 2016) Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на $20$% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равыным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит $10$ млн. Ответ: 6. Решение

---

4. (досрочный ЕГЭ, 2016) Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на $10$% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме того, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на $3$ млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше $25$ млн рублей. Ответ: 12. Решение

---

5. (ЕГЭ, 2015) 15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:
‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на $r$% по сравнению с концом предыдущего месяца;
‐ со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
‐ 15‐ го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите $r$. Ответ: 2. Решение

---

6. (Т/Р А. Ларина) Владимир поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%. Какую сумму Владимир ежегодно добавлял к вкладу? Ответ: 240000. Решение

---

7. (Т/Р А. Ларина) Наблюдая за курсом акций, АО «Наш газ – для вас», брокер заметил, что в понедельник стоимость акций всегда падает на 15%, во вторник – всегда растет на 20%, в среду всегда падает на 10%, в четверг никогда не изменяется, в пятницу – всегда растет на 5%, в субботу и воскресенье торги не проводятся. (Изменение стоимости в течении дня всегда происходит равномерно, причем цена продажи акций равна цене ее покупки в любой момент времени).

а) Как изменится стоимость акций за неделю (уменьшится увеличится или останется на прежнем уровне)?

б) Какую наибольшую прибыль может получить брокер за неделю, покупая и продавая эти акции (это можно делать в любое время рабочего дня), если в начале недели он имеет 1000000 рублей?

Ответ: а) уменьшится; б) 260000. Решение

---

8. (Т/Р А. Ларина) Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10 % годовых. Однако через год и Саша, и Паша сняли со своих счетов соответственно 10% и 20% имеющихся денег. Еще через год каждый из них снял со своего счета соответственно 20 000 рублей и 15 000 рублей. У кого из братьев к концу третьего года на счету окажется большая сумма денег? На сколько рублей? Ответ: у Саши, на 1155 рублей. Решение

---

9. (Т/Р А. Ларина)  1 апреля 2015 года близнецы Саша и Паша планируют взять в кредит одинаковые суммы денег на покупку автомобилей. Саша хочет оформить кредит в банке «Вампириал» под 20% годовых, а Паша – в банке «Хитёр‐Инвест» под 10% годовых. Схема выплаты кредита у каждого банка следующая: 1 апреля каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20% и 10% соответственно), затем клиент переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Кто из братьев должен будет в итоге заплатить своему банку больше денег, если известно, что Саша планирует выплатить долг двумя равными платежами, а Паша – пятью равными платежами? Ответ: Паша. Решение

---

10. (Т/Р А. Ларина) В двух банках в конце года на каждый счет начисляется прибыль: в первом банке – 60% к текущей сумме на счете, во втором – 40% к текущей сумме на счете. Вкладчик в начале года часть имеющихся у него денег положил в первый банк, а остальные деньги – во второй банк, с таким расчетом, чтобы через два года суммарное количество денег на обоих счетах увеличилось на 150%. Сколько процентов денег вкладчик положил в первый банк? Ответ: 90. Решение

---

11. (Т/Р А. Ларина) Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 35%. Если бы электричество подорожало на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 10%. Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон? Ответ: 10. Решение

---

12. (Т/Р А. Ларина) Курс доллара в течение двух месяцев увеличивался на одно и то же число процентов ежемесячно, но не более, чем в 1,5 раза. За сумму, вырученную от продажи в начале первого месяца одного доллара, к концу второго месяца можно было купить на 9 центов меньше, чем в конце первого месяца. На сколько процентов уменьшился курс рубля за два месяца? Ответ: 19. Решение

---

13. (Т/Р А. Ларина)  Молодой семье на покупку квартиры банк выдает кредит под 20 % годовых. Схема выплаты кредита следующая: ровно через год после выдачи кредита банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем эта семья в течение следующего года переводит в банк определенную (фиксированную) сумму ежегодного платежа. Семья Ивановых планирует погашать кредит равными платежами в течение 4 лет. Какую сумму может предоставить им банк, если ежегодно Ивановы имеют возможность выплачивать по кредиту 810 000 рублей? Ответ: 2096875. Решение

---

14. (Т/Р А. Ларина)  В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через год хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик? Ответ: 220. Решение

---

15. (Т/Р А. Ларина)  8 марта Леня Голубков взял в банке $53 680$ рублей в кредит на 4 года под $20$% годовых, чтобы купить своей жене Рите новую шубу. Схема выплаты кредита следующая: утром 8 марта следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на $20$%), а вечером того же дня Леня переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа (все четыре года эта сумма одинакова). Какую сумму сверх взятых $53 680$ рублей должен будет выплатить банку Леня Голубков за эти четыре года? Ответ: 29264. Решение

---

16. (Т/Р А. Ларина)  Семён Кузнецов планировал вложить все свои сбережения на сберегательный счёт в банк «Навроде» под 500%, рассчитывая через год забрать $A$ рублей. Однако крах банка «Навроде» изменил его планы, предотвратив необдуманный поступок. В результате часть денег г-н Кузнецов положил в банк «Первый Муниципальный», а остальные – в банку из-под макарон. Через год «Первый Муниципальный» повысил процент выплат в два с половиной раза и г-н Кузнецов решил оставить вклад еще на  год. В итоге размер суммы, полученной  в «Первом Муниципальном», составил $\frac{1}{6}A$ рублей. Определите, какой процент за первый год начислил банк «Первый Муниципальный», если в банку из-под макарон Семён «вложил» $\frac{2}{27}A$ рублей. Ответ: 20. Решение

---

17. (Т/Р А. Ларина) Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% – в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк. Ответ: 5; 20. Решение

---

18. (Т/Р А. Ларина) В одной стране в обращении находились 1 000 000 долларов, 20% из которых были фальшивыми. Некая криминальная структура стала ввозить в страну по 100 000 долларов в месяц, 10% из которых были фальшивыми. В это же время другая структура стала вывозить из страны 50 000 долларов ежемесячно, из которых 30% оказывались фальшивыми. Через сколько месяцев содержание фальшивых долларов в стране составит 5%? Ответ: 20. Решение

---

19. (Т/Р А. Ларина) В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена баррели сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти? Ответ: 96. Решение

---

20. (Т/Р А. Ларина) В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х % годовых, тогда как в январе 2001 года – y % годовых, причем известно, что x+y=30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение x при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной. Ответ: 25. Решение

---

21. (Т/Р А. Ларина) В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу? Ответ: 210000. Решение

---

22. (Т/Р А. Ларина)  Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а ещё через год в счёт полного погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке? Ответ: 120. Решение

---

23. (Т/Р А. Ларина) Саша положил некоторую сумму в банк на $4$ года под $10$% годовых. Одновременно с ним Паша такую же сумму положил на два года в другой банк под $15$% годовых. Через два года Паша решил продлить срок вклада еще на $2$ года. Однако к тому времени процентная ставка по вкладам в этом банке изменилась и составляла уже $p$% годовых. В итоге через четыре года на счету у Паши оказалась большая сумма, чем у Саши, причем эта разность составила менее $10$% от суммы, вложенной каждым первоначально. Найдите наибольшее возможное целое значение процентной ставки $p$. Ответ: 8. Решение

---

24. (Т/Р А. Ларина) Эльвира взяла в кредит 1 млн. рублей на срок 36 месяцев. По договору она должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на $10$%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Эльвирой банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Эльвирой, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. На сколько тысяч рублей больше Эльвира выплатит банку в течение первого года кредитования, нежели в течение третьего года? Ответ: 800. Решение

---

25. (Т/Р А. Ларина)  Василий кладёт в банк $1000000$ рублей под $10$% годовых на $4$ года (проценты начисляются один раз после истечения года) с правом докладывать три раза (в конце каждого года) на счёт фиксированную сумму $133000$ рублей. Какая сумма будет на счёте у Василия через $4$ года? Ответ: 1948353. Решение

---

26. (Т/Р А. Ларина)  Василий хочет взять кредит на сумму $1325535$ рублей на $5$ лет под $20$% годовых.
Банк предложил ему два варианта:
Вариант 1. Василий отдаёт одну и ту же сумму каждый год (аннуитетные платежи).

Вариант 2. Василий производит платежи так, чтобы долг уменьшался после каждого платежа на одну и ту же сумму (дифференцированные платежи).
На сколько рублей меньше Василий отдаст банку, если выберет второй вариант. Ответ: 95304. Решение

---

27. (Т/Р А. Ларина) В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $31$% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную $69690821$ рубль.

Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за $3$ года)? Ответ: 124809100. Решение

---

28. (Т/Р А. Ларина)  Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей? Ответ: Маша, на 1100 рублей. Решение

---

29. (Т/Р А. Ларина)  1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10 %), затем Аркадий переводит в банк платёж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2395800 рублей? Ответ: 1923000. Решение

---

30. (Т/Р А. Ларина)  1 августа 2016 года Валерий открыл в банке счёт «Пополняй» на четыре года под 10% годовых, вложив 100 тыс. рублей. 1 августа 2017 и 1 августа 2019 года он планирует докладывать на счёт по  $n$ тыс. рублей. Найдите наименьшее целое $n$, при котором к 1 августа 2020 года на счету у Валерия окажется не менее 200 тыс. рублей. Ответ: 23. Решение

---

31. (Т/Р А. Ларина) 20 декабря Валерий взял кредит в банке на сумму $500$ тыс. рублей сроком на 5 месяцев. Условия возврата кредита таковы:

5-го числа каждого месяца долг увеличивается на целое число $n$ процентов по сравнению с предыдущим месяцем;

с 6-го по 19 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

20-го числа каждого месяца долг составлять некоторую сумму в соответствии с таблицей:

Найдите наименьшее $n$, при котором сумма выплат сверх взятого кредита (выплаты по процентам) составит более $200$ тыс. рублей. Ответ: $14.$ Решение

---

32. (Т/Р А. Ларина) Галина взяла в кредит $12$ млн. рублей на срок $24$ месяца. По договору Галина должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на $3$%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Галиной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Галиной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. На сколько рублей больше Галина вернет банку в течение первого года кредитования по сравнению со вторым годом. Ответ: $2160000.$ Решение

---

33. (Т/Р А. Ларина)  1 марта 2016 года Валерий положил в банк $100$ тыс. руб. под 10% годовых сроком на 4 года. Через два года он планирует снять со своего счета $n$ тыс. руб. ($n$ – целое число) с таким расчётом, чтобы к 1 марта 2020 года у него на счету оказалось не менее $130$ тыс. руб. Какую наибольшую сумму $n$ может снять со своего счёта Валерий 1 марта 2018 года? Ответ: $13.$ Решение

---

34. (Т/Р, 2017) В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере $S$ млн рублей, где $S$ — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на $15$% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение  $S$, при котором каждая из выплат будет меньше $4$ млн рублей.

Ответ: $6.$ Решение

---

35. (Т/Р А. Ларина) Роман Абрамович внес в банк «Альфа» $S$ тысяч рублей ($S$ – целое число) под $10$% годовых сроком на три года. Одновременно с ним Абрам Романович внес в банк «Бетта» такую же сумму на год под $15$% годовых с возможностью пролонгировать (продлить) вклад на второй год под $10$% годовых, а на третий – под $5$% годовых. Найдите наименьшее значение $S$, при котором суммы на счетах Романа Абрамовича и Абрама Романовича спустя три года будут отличаться более, чем на $300$ тысяч рублей. Ответ: $109091.$ Решение

---

36. (Т/Р А. Ларина) Гражданка Васильева вложила $44$ млрд. рублей в два оффшорных банка на 3$3$ года: часть денег в банк А, остальное в банк Б. Известно, что банк А ежегодно начисляет $10$%

годовых; банк Б в первый год начисляет $5$% годовых, во второй – $10$%, а в третий – $15$%. Сколько рублей было вложено в каждый из банков, если через три года доход гражданки Васильевой от вложения денег составил $14520$ млн. рублей. Ответ: $28;16.$ Решение 

---

37. (Т/Р А. Ларина) 1 апреля 2017 года Юрий открыл в банке счёт «Пополняй», вложив $6$ млн. рублей сроком на 4 года под $10$% годовых. По договору с банком проценты по вкладу должны начисляться 31 марта каждого последующего года.

1 апреля 2018 года и 1 апреля 2020 года Юрий решил пополнять счёт на $n$ тысяч рублей ($n$ – целое число).

1 апреля 2021 года Юрий собирается закрыть счёт в банке и забрать все причитающиеся ему деньги.
Найдите наибольшее значение $n$, при котором доход Юрия от вложений в банк за эти $4$ года окажется не более $3$ млн. рублей. Ответ: $499.$ Решение 

---

38. (Т/Р А. Ларина)  В июне планируется взять кредит в банке на сумму $5$ млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
‐ каждый январь долг возрастает на $10$% по сравнению с концом предыдущего года;
‐ с февраля по май каждого года необходимо выплачивать часть долга.
‐ в июне каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июнь предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что сумма выплат банку сверх взятого кредита после его полного погашения составила $3$ млн. рублей? Ответ: $11.$ Решение

---

39. (Т/Р А. Ларина) 

В начале января 2018 года планируется взять кредит в банке на 4 года на $S$ млн. рублей, где $S$ – целое число. Условия его возврата таковы:

‐ каждый июль долг возрастает на $10$% по сравнению с началом текущего года;
‐ с августа по декабрь каждого года необходимо выплатить часть долга;
‐ в январе каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Найдите наименьшее значение $S$, при котором сумма выплат банку за все 4 года составит не менее $10$ млн. рублей. Ответ: $8.$ Решение

---

40. (Т/Р А. Ларина)  Джим Хокинс планирует найти сокровища стоимостью $300$ тыс. фунтов стерлингов, которые спрятал капитан Флинт. Перед началом поисков он взял кредит в размере $10$ тыс. фунтов стерлингов у состоятельного сквайера Трелони, чтобы снарядить шхуну «Испаньола» для поиска сокровищ. Условия кредитования таковы, что ежемесячно за пользование денежными средствами Джим Хокинс должен заплатить Трелони $40$% от суммы долга, ежемесячные проценты начисляются на тело долга (каждый месяц Джим платит проценты от $10$ тыс. фунтов стерлингов). Через сколько полных месяцев Джим Хокинс гарантированно планирует найти сокровища, если после выплаты долга он хочет получить на руки не менее $230$ тыс. фунтов стерлингов? (Джим Хокинс во время поиска сокровищ не может выплачивать долг, а платит его вместе с процентами после нахождения сокровищ). Ответ: $15$ Решение

---

41. (Т/Р А. Ларина) Иван Петрович получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год в счет погашения кредита он вернул в банк $1/6$ от всей суммы, которую он должен банку к этому времени. А еще через год в счет полного погашения кредита Иван Петрович внес в банк сумму, на $20$% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Ответ: $20.$ Решение

---

42. (Т/Р А. Ларина) 1 ноября 2017 года Николай открыл в банке счёт «Управляй», вложив $S$ тысяч рублей ($S$ – целое число) сроком на 4 года под $10$% годовых. По договору с банком проценты по вкладу должны начисляться 31 октября каждого последующего года.

1 ноября 2019 года и 1 ноября 2020 года Николай планирует снять со счёта $100$ тысяч и $50$ тысяч рублей соответственно.

1 ноября 2021 года Николай собирается закрыть счёт в банке и забрать все причитающиеся ему деньги.
Найдите наименьшее значение $S$, при котором доход Николая от вложений в банк за эти 4 года окажется более $70$ тысяч рублей.

Ответ: $207$ тысяч рублей. Решение

---

43. (Т/Р А. Ларина)  1 июня планируется в банке взять в кредит некоторую сумму денег на срок $12$ месяцев. Условия возврата таковы:

— 15 числа каждого месяца долг возрастает на $r$ % ($r$ – целое число) по сравнению с началом текущего месяца;
— с 16 по 28 число необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало каждого следующего месяца долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим месяцем.

Найдите наименьшую возможную ставку $r$, если известно, что за вторую половину года было выплачено более, чем на $30$% меньше, нежели за первую половину.

Ответ: $10.$ Решение

---

44. (Т/Р А. Ларина)  1 июля планируется взять кредит в банке на сумму $300$ тыс. рублей на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:

‐ 15 числа каждого месяца долг возрастает на $10$% по сравнению с началом текущего месяца;

‐ с 16 по 28 число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга.

‐ 1 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем долг на 1 число предыдущего месяца.
На сколько месяцев был взят кредит, если известно, что сумма выплат за первый год оказалась на $144$ тыс. рублей больше, чем сумма выплат за второй год? Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Ответ: $30$ месяцев; $765$ тысяч рублей. Решение 

-1. (Резервный ЕГЭ, 2017) Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему $200$ рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — $300$ рублей.

Вадим готов выделять $1 200 000$ рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Ответ: $100.$ Решение

---

0. (Досрочный ЕГЭ, 2017)  Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t=1;2;…$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в $1+r$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?

Ответ: $\frac{43}{441}<r<\frac{41}{400}.$ Решение

---

1. (Т/Р А. Ларина) Садовод привез на рынок 91 кг яблок, которые после транспортировки разделил на три сорта. Яблоки первого сорта он продавал по 40 руб., второго сорта – по 30 руб., третьего сорта – по 20 руб. за килограмм. Выручка от продажи всех яблок составила 2170 руб. Известно, что масса яблок 2‐го сорта меньше массы яблок 3‐го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 1‐го сорта меньше массы яблок 2‐го сорта. Сколько килограммов яблок второго сорта продал садовод?  Ответ: $21$. Решение

---

2. (Т/Р А. Ларина) Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью $v$ км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение $v$, при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки? Ответ: 6 км/ч; 4 часа 10 минут. Решение

---

3. (Т/Р А. Ларина) Бриллиант массой 20 карат был разбит на две части, после чего его стоимость уменьшилась на 25,5 %.
а) Найдите массы частей, на которые был разбит бриллиант, если известно, что цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы.
б) На какое максимальное число процентов может уменьшиться цена бриллианта, разбитого на две части?  Ответ: а) 17 и 3; б) 50. Решение

---

4. (Т/Р А. Ларина) В 1‐й день завод изготовил 1454 детали и упаковал их в коробки двух видов: большие и маленькие. Известно, что маленькая коробка вмещает 5 деталей. Во 2‐й день было изготовлено и упаковано в такие же коробки 1467 деталей. При этом в первый день было использовано столько маленьких коробок, сколько больших во второй, а во второй день – столько маленьких коробок, сколько больших в первый. Сколько маленьких коробок было использовано в 1‐й день? Ответ: 64. Решение

---

5. (Т/Р А. Ларина) Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 часа раньше. Определите число землекопов в каждой бригаде, если известно, что производительность у землекопов одинакова. Ответ: 25; 24. Решение

---

6. (Т/Р А. Ларина) Находясь в гостях у Кролика, Винни‐Пух за первый час съел 40% всего запаса меда Кролика, а Пятачок и Кролик вместе за это же время съели лишь 300 граммов меда. За следующий час Винни‐Пух съел 80% от оставшегося меда, а Пятачок и Кролик съели 100 граммов меда на двоих. В итоге у Кролика осталось 800 грамм меда. Сколько килограммов меда было у Кролика до визита Винни‐Пуха? Ответ: 8. Решение

---

7. (Т/Р А. Ларина) Незадолго до выборов социологический опрос показал, что 60% избирателей уже решили, за кого из двух кандидатов они будут голосовать. При этом 55% из них решили голосовать за кандидата А. Какой процент из тех, кто еще не определил своего избранника, должен голосовать за кандидата А, чтобы за него проголосовала по крайней мере половина избирателей? Ответ: 42,5. Решение

---

8. (Т/Р А. Ларина) Три свечи имеют одинаковую длину, но разную толщину. Третья свеча была зажжена на час раньше двух других, зажженных одновременно. В некоторый момент горения первая и третья свечи стали одинаковой длины, а через 2 часа после этого одинаковой длины стали третья и вторая свечи. За сколько часов сгорает третья свеча, если вторая сгорает за 6 ч, а первая – за 4 ч? Ответ: 8. Решение

---

9. (Т/Р А. Ларина) В Доме правительства 18 этажей. На каждом этаже, кроме первого, находится министерство. Однажды утром все 17 министров зашли в лифт, который может сделать только один рейс, а дальше каждый министр должен идти до своего этажа пешком по лестнице. Известно, что каждый министр с неудовольствием опускается на один этаж вниз по лестнице и с двойным неудовольствием поднимается на один этаж вверх по лестнице. На каком этаже им следует остановить лифт, чтобы сумма всех не удовольствий была наименьшей? Ответ: 13. Решение

---

10. (Т/Р А. Ларина)  При рытье колодца глубиной свыше 10 м за первый метр заплатили 1000 руб., а за каждый следующий на 500 руб. больше, чем за предыдущий. Сверх того за весь колодец дополнительно было уплачено 10000 руб. Средняя стоимость 1 м оказалась равной 6250 руб. Определите глубину колодца. Ответ: 20. Решение

---

11. (Т/Р А. Ларина) Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 часа из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 минут – мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту все трое находятся на одном расстоянии от пункта В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 час позже мотоциклиста? Ответ: 48. Решение

---

12. (Т/Р А. Ларина) В первый рабочий день месяца с заводского конвейера сошло некоторое число тракторов. Каждый следующий рабочий день их выпуск возрастал на 3 трактора ежедневно, и месячный план – 55 тракторов – был выполнен досрочно, причем за целое число дней. После этого ежедневно выпускалось 11 тракторов. Определите, сколько тракторов было выпущено в первый рабочий день, и на сколько процентов был перевыполнен месячный план, если известно, что в месяце было 26 рабочих дней, а плановая работа длилась не менее 3 и не более 10 дней. Ответ: 5;420. Решение

---

13. (Т/Р А. Ларина) Цех получил заказ на изготовление $2000$ деталей типа А и $14000$ деталей типа Б. Каждый из $146$ рабочих цеха затрачивает на изготовление одной детали типа А время, закоторое он мог бы изготовить $2$ детали типа Б. Каким образом следует разделить рабочих цеха на две бригады, чтобы выполнить заказ за наименьшее время, при условии, что обе бригады приступят к работе одновременно, и каждая из бригад будет занята изготовлением деталей только одного типа? Ответ: А: 33; В: 113. Решение

---

14. (Т/Р А. Ларина) Строительной организации необходимо построить некоторое количество одинаковых домов общей площадью $2500$ м$^2$. Стоимость одного дома площадью $a$ м$^2$ складывается из стоимости материалов $p_1a^{\frac{3}{2}}$  тыс.руб, стоимости строительных работ $p_2a$, тыс.руб и стоимости отделочных работ $p_3a^\frac{1}{2}$ тыс.руб. Числа $p_1,p_2,p_3$ являются последовательными членами геометрической прогрессии, их сумма равна $21$, а их произведение равно $64$. Если построить $63$ дома, то затраты на материалы будут меньше, чем затраты на строительные и отделочные работы. Сколько следует построить домов, чтобы общие затраты были минимальными? Ответ: 156. Решение

---

15. (Т/Р А. Ларина) Из строительных деталей двух видов можно собрать три типа домов. Для сборки $12$‐квартирного дома необходимо $70$ деталей первого и $100$ деталей второго типа. Для $16$‐квартирного дома требуется $110$ и $150$, а для дома на $21$ квартиру нужно $150$ и $200$ деталей первого и второго видов соответственно. Всего имеется $900$ деталей первого и $1300$ деталей второго вида. Сколько и каких домов нужно собрать, чтобы общее количество квартир в них было наибольшим? Ответ: 12‐квартирных домов: 11;16‐квартирных домов: 1; 21‐квартирных домов: 0. Решение

---

16. (Т/Р А. Ларина)  Колхоз арендовал два экскаватора. Аренда первого экскаватора стоит $60$ руб в день, производительность его в мягком грунте составляет $250$ м$^3$ в день, в твердом грунте – $150$ м$^3$ в день. Аренда второго экскаватора стоит $50$ руб в день, его производительность в мягком грунте $480$ м$^3$ в день, а в твердом – $100$ м$^3$ в день. Первый проработал несколько полных дней и вырыл $720$ м$^3$. Второй за несколько полных дней вырыл $330$ м$^3$. Сколько дней работал каждый экскаватор, если колхоз заплатил за аренду не более $300$ руб. Ответ: 3 – первый, 2 –  второй; 3 – первый, 1 –  второй; 4 – первый, 1 –  второй. Решение

---

17. (Т/Р А. Ларина)  В мебельный магазин поступили столы и стулья. Количество столов составляет $42$% от числа стульев. Когда было продано $78$% столов и $62$% стульев, то столов осталось менее $300$ штук, а стульев – более $200$. Сколько столов и сколько стульев поступило в магазин? Ответ: 1050;2500. Решение

---

18. (Т/Р А. Ларина)  Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $4t^3$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^3$ часов в неделю, они производят $t$ приборов.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему $1$ тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось $20$ приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих? Ответ: 3569000. Решение

---

19. (Т/Р А. Ларина)  Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 тонн, но один вагон остался загружен не полностью. Тогда весь груз переложили в вагоны вместимостью по 60 тонн. При этом понадобилось на 8 вагонов больше, и все равно один вагон остался загружен не полностью. Наконец, груз переложили в вагоны вместимостью по 50 тонн. При этом понадобилось еще на 5 вагонов больше, и все вагоны оказались полностью загруженными. Сколько было тонн груза? Ответ: 1750. Решение

---

20. (Т/Р А. Ларина) Имеется две одинаковых по объёму банки: первая с мёдом, а вторая с дёгтем. Шутник взял ложку дёгтя из второй банки и добавил её в банку с мёдом. Перемешав содержимое в первой банке, шутник перелил такую же ложку смеси во вторую банку. Потом он проделал всё это ещё раз: из второй банки перелил ложку полученной смеси в первую, после чего из первой банки перелил ложку новой смеси во вторую. Определите, чего оказалось больше: дегтя в мёде или мёда в дёгте? Ответ: дегтя в меде и меда в дегте оказалось поровну. Решение

---

21. (Т/Р А. Ларина)  Баржа грузоподъёмностью $134$ тонны перевозит контейнеры типов A и B. Количество загруженных на баржу типа B не менее чем на 25% превосходит загруженных контейнеров типа A. Вес и стоимость одного контейнера типа A составляет $2$ тонны и $5$ млн. руб., контейнера типа B – $5$ тонн и $7$ млн. руб. соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.) всех контейнеров, перевозимых баржей при данных условиях. Ответ: 220. Решение

---

22. (Т/Р А. Ларина)  Два человека, у которых имеется один велосипед, должны попасть из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км. Первый движется пешком со скоростью 4 км/ч, а на велосипеде – со скоростью 30 км/ч. Второй движется пешком со скоростью 6 км/ч, а на велосипеде – со скоростью 20 км/ч. За какое наименьшее время они могут добраться из А в В?

(Велосипед можно оставлять на дороге без присмотра) Ответ: 4 часа 48 минут. Решение

---

23. (Т/Р А. Ларина) На первом складе находятся коробки с простыми карандашами, а на втором – с цветными. Количество коробок простых карандашей составляет $\frac{14}{17}$ от числа коробок цветных карандашей. Когда со складов продали $\frac{3}{8}$ коробок простых карандашей и $\frac{5}{9}$ цветных, то на первом складе осталось менее $3000$ коробок, а на втором – не менее $2000$ коробок. Сколько коробок было первоначально на каждом складе? Ответ: 4032 и 4896;  4536 и 5508. Решение

---

24. (Т/Р А. Ларина)  В одном сосуде находится 21 л 75%-ного (по объему) раствора кислоты, а в другом 9 л 30%-ного раствора той же кислоты. Из каждого сосуда отлили равное количество жидкости, и взятое из первого сосуда вылили во второй, а взятое из второго вылили в первый. Сколько литров было взято из каждого сосуда, если в результате в них оказался раствор одной и той же концентрации? Ответ: 6,3. Решение

---

25. (Т/Р А. Ларина) Города А и В расположены на берегу реки, причем город В лежит ниже по течению. В 6 часов утра из А в В отправился плот. В тот же момент из В в А отправилась лодка, которая встретилась с плотом в 11 часов утра. Доплыв до города А, лодка сразу же повернула обратно и приплыла в город В одновременно с плотом. Успели ли лодка и плот прибыть в город В к 6 ч вечера того же дня? Ответ: нет. Решение

---

26. (Т/Р А. Ларина) Несколько человек должны были принять участие в экскурсии. Однако двое не смогли в ней участвовать, поэтому остальным экскурсантам пришлось уплатить на 30 руб. больше, чем планировалось (все участники должны были заплатить поровну). Сколько должен был заплатить каждый экскурсант первоначально, если известно, что стоимость экскурсии больше 700 руб., но не более 750 руб.? Ответ: 90. Решение

---

26. (Т/Р А. Ларина) Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние? Ответ: 6,96 минут; 0,6 км. Решение

---

27. (Т/Р А. Ларина) В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе $24$ человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает $t$ человек, то их суточная зарплата составляет $4t^2$ у.е. Если на втором объекте работает $t$ человек, то их суточная зарплата составляет $t^2$ у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим? Ответ: 5;19 и 461 у.е. Решение

---

28. (Т/Р А. Ларина)  В некоторой стране решили провести всенародные выборы правительства. Две трети избирателей в этой стране – городские жители, а одна треть – сельские. Президент должен предложить на утверждение проект состава правительства из 100 человек. Известно, что за проект проголосует столько процентов городских (сельских) жителей, сколько человек из города (села) в предложенном проекте. Какое наименьшее число городских жителей надо включить в проект состава правительства, чтобы за него проголосовало более половины избирателей? Ответ: 51. Решение

---

29. (Т/Р А. Ларина)   В 2011‐м году во время празднования своего дня рождения я обнаружил, что если между цифрами моего года рождения вставить знаки действий “x”, “+”, “x”, то получилось бы выражение, равное моему тогдашнему возрасту. Сколько лет мне исполнится в следующем (2017‐м) году? Ответ: $43;51.$ Решение

---

30. (Т/Р А. Ларина)  В распоряжении прораба Валерия имеется бригада каменщиков в составе $40$ человек. Их нужно распределить на неделю на два строящихся объекта. Если на первом объекте работает $t$ человек, то их недельная зарплата составляет $1,5 t^2$ тыс. рублей. Если на втором объекте работает $t$ человек, то их недельная зарплата составляет $2t^2$ тыс. рублей. Как Валерию нужно распределить на эти объекты бригаду каменщиков, чтобы выплаты на их недельную зарплату оказались наименьшими? Сколько рублей в этом случае пойдет на зарплату? Ответ: $23$ – на первый, $17$ – на второй объект; $1371500$ рублей. Решение

---

31. (Т/Р А. Ларина) Два одинаковых бассейна одновременно начали наполняться водой. В первый бассейн поступает в час на 30 м$^3$ больше воды, чем во второй. В некоторый момент в двух бассейнах вместе оказалось столько воды, сколько составляет объем каждого из них. После этого через 2 ч 40 мин наполнился первый бассейн, а еще через 3 ч 20 мин – второй. Сколько воды поступало в час во второй бассейн? За какое время наполнился второй бассейн? Ответ: $60;10.$ Решение

---

32. (Т/Р А. Ларина) По двум взаимно перпендикулярным шоссе в направлении их пересечения одновременно начинают двигаться два автомобиля: один со скоростью $80$ км/ч, другой –

$60$ км/ч. В начальный момент времени каждый автомобиль находится на расстоянии $100$ км от перекрестка. Определите время после начала движения, через которое расстояние между автомобилями будет наименьшим. Каково это расстояние? Ответ: $20$ км, $1,4$ ч. Решение

---

33. (Т/Р А. Ларина) Два пешехода идут навстречу друг другу: один из А в В, а другой – из В в А. Они вышли одновременно, и когда первый прошел половину пути, второму оставалось

идти еще 1,5 часа, а когда второй прошел половину пути, то первому оставалось идти еще 45 минут. На сколько минут раньше закончит свой путь первый пешеход, чем второй?

Ответ: $30.$ Решение

---

34. (Т/Р А. Ларина) Некоторое предприятие приносит убытки, составляющие 300 млн. руб. в год. Для превращения его в рентабельное было предложено увеличить ассортимент продукции. Подсчеты показали, что дополнительные доходы, приходящиеся на каждый новый вид продукции, составят 84 млн. руб. в год, а дополнительные расходы, окажутся равными 5 млн. руб. в год при освоении одного нового вида, но освоение каждого последующего потребует на 5 млн. руб. в год больше расходов, чем освоение предыдущего. Какое минимальное количество видов новой продукции необходимо освоить, чтобы предприятие стало рентабельным? Какой наибольшей годовой прибыли может добиться предприятие за счёт увеличения ассортимента продукции?

Ответ: $5$; $364.$ Решение

---

35. (Т/Р А. Ларина) Из пункта А в пункт В со скоростью $80$ км/ч выехал первый автомобиль, а через некоторое время с постоянной скоростью – второй. После остановки на $20$ мин в пункте В второй автомобиль поехал с той же скоростью назад. Через $48$ км он встретил первый автомобиль, шедший навстречу, и был на расстоянии $120$ км от В в тот момент, когда в пункт В прибыл первый автомобиль. Найти расстояние от А до места первой встречи, если расстояние между пунктами А и В равно $480$ км.

Ответ: $160.$ Решение

---

36. (Т/Р А. Ларина)  Гражданин положил $1$ млн рублей в банк на $4$ года. В конце каждого года на лежащую сумму начисляется $10$%. Он решил в конце каждого из 3‐х первых лет (после начисления процентов) снимать одинаковую сумму денег. Эта сумма должна быть такой, чтобы после 4‐х лет после начисления процентов за 4‐й год у него на счету было не менее $1200$ тыс. рублей. Какую максимальную сумму может снимать гражданин. Ответ округлить до целой тысячи в меньшую сторону.

Ответ: $72$ тыс. рублей. Решение

---

37. (Т/Р А. Ларина)  Зоопарк распределяет $111$ кг. мяса между лисами, леопардами и львами. Каждой лисе полагается $2$ кг. мяса, леопарду – $14$ кг., льву $21$ кг. Известно, что у каждого льва

бывает ежедневно $230$ посетителей, у каждого леопарда – $160$, у каждой лисы $20$. Сколько должно быть лис, леопардов и львов в зоопарке, что бы ежедневно число посетителей у этих животных было наибольшим?

Ответ: $3$ лисы, $6$ леопардов, $1$ лев. Решение

---

38. (Т/Р А. Ларина)  Для увеличения выпуска продукции решено расширить производство за счет использования имеющейся свободной площади в $70$ кв.м, на которой предполагается

установить оборудование двух видов общей стоимостью не более $100$ млн.руб. Каждый комплект оборудования вида А занимает $20$ кв.м, стоит $10$ млн.руб. и позволяет получить за смену $40$ ед. продукции, а каждый комплект оборудования вида В занимает $10$ кв.м, стоит $30$ млн.руб. и позволяет получить за смену $80$ ед. продукции. Определить значение максимально возможного прироста выпуска продукции за смену. Ответ: $280.$ Решение

---

39. (Т/Р А. Ларина) На покупку тетрадей в клетку и в линейку можно затратить не более $140$ рублей. Тетрадь в клетку стоит $3$ руб., в линейку – $2$ руб. Число купленных тетрадей в клетку не должно отличаться от числа тетрадей в линейку более, чем на $9$. Необходимо купить максимально возможное суммарное количество тетрадей, при этом тетрадей в линейку нужно купить как можно меньше. Сколько тетрадей в клетку и сколько в линейку можно купить при указанных условиях? Ответ: $26; 31.$ Решение

---

40. (Т/Р А. Ларина) Фёдор является владельцем двух заводов в разных городах.
На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном в первом городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $3t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $4t^2$ часов в неделю, они производят $t$ приборов.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Фёдор платит рабочему $1$ тысячу руб. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось $30$ приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих? Ответ: $1543000$ рублей. Решение

---

41. (Т/Р А. Ларина) Спонсор выделил школе $50$ тысяч рублей на покупку мячей. Известно, что футбольный мяч стоит $700$ рублей, баскетбольный – $600$ рублей, волейбольный – $500$ рублей. Необходимо приобрести мячи всех трёх видов, причём их количества не должны отличаться более, чем на $10$ штук. Какое наибольшее количество мячей сможет приобрести школа, не привысив на их покупку выделенной суммы?

Ответ: $85.$ Решение

---

42. (Т/Р А. Ларина) Предприятие производит холодильники и является прибыльным. Известно, что при изготовлении $n$ холодильников в месяц расходы на выпуск одного холодильника составляют не менее $\frac{48000}{n}+240-|80-\frac{48000}{n}|$ тыс. рублей, а цена реализации каждого холодильника при этом не превосходит $480-\frac{n}{5}$ тыс. рублей. Определить ежемесячный объем производства, при котором может быть получена наибольшая при данных условиях прибыль. Ответ: $400.$ Решение