Задания 13 ЕГЭ по математике

2024-01-01
 Список всех задач 13, разобранных на сайте

Угол между прямой и плоскостью + показать


Угол между прямыми  + показать


Угол между плоскостями + показать


Площадь сечения. Отношения + показать


Объемы многогранников + показать


Расстояние от точки до прямой/плоскости + показать


Расстояние между скрещивающимися прямыми + показать


Тела вращения. Комбинации тел + показать


Другие задачи + показать

Задание 12 ЕГЭ

2024-01-01

!!Смотрите также сборник заданий 12 ЕГЭ !!


2024

1.1. (Пробник 2023) а) Решите уравнение $\frac{\sqrt3}{4}cos x(sinx+\sqrt2)=(sin^2x+\sqrt2sinx)cos^2x.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2};2\pi].$

Решение Ответ: + показать

1.2. (Пробник 2023) а) Решите уравнение $\frac{\sqrt3}{4}sin x(cos-\sqrt2)=(\sqrt2 cosx-cos^2x)sin^2x.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}].$

Ответ: + показать


2023


1.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) 

а) Решите уравнение: $\log _{3}\left( \sqrt{2}\cos \left( \dfrac{\pi }{2}-x\right) +\sin 2x+81\right) =4.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ \pi ;\frac{5 \pi }{2}]$.

Решение:  Ответ: + показать

1.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{7\pi}{2};-2\pi].$

Ответ: + показать


2.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) 

а) Решите уравнение $log_{13}(cos2x-9\sqrt2 cosx-8)=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}].$

Решение Ответ: + показать

2.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) 

а) ) Решите уравнение $log_8(7\sqrt3 sinx-cos2x-10)=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\frac{\pi}{2};3\pi].$ 

Ответ: + показать


3.1. (ЕГЭ 2023, Пробник) 

а) Решите уравнение: $\sqrt{2cos^2x-4cosx+3}=\sqrt{cosx+6}.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{7 \pi }{2};5\pi]$. 

Решение Ответ: + показать

3.2. (ЕГЭ 2023, Пробник) 

а) Решите уравнение $\sqrt{4cos^2x+9cosx+6}=\sqrt{cosx+11}.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{7\pi}{2};-2\pi].$

Ответ: + показать


4.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) 

а) Решите уравнение: $log_4(2^{2x}-\sqrt3cosx-sin2x)=x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi;\frac{7\pi}{2}].$

Решение Ответ: + показать

4.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) 

а) Решите уравнение: $log_4(2^{2x}-\sqrt3cosx-6sin^2x)=x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{5\pi}{2};4\pi].$
Ответ: + показать


5.1. (ЕГЭ 2023, Статград) 

а) Решите уравнение: $\large \frac{3tg^2x-1}{2cosx+\sqrt3}=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3\pi}{2};3\pi].$

Решение Ответ: + показать

5.2. (ЕГЭ 2023, Статград)

а) Решите уравнение: $\large \frac{3tg^2x-1}{2sinx+1}=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{5\pi}{2};-\pi].$
Ответ: + показать


6.1. (ЕГЭ 2023) а) Решите уравнение:

$2sin^2xcosx+\sqrt3 cos^2x=\sqrt3.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{5 \pi }{2};4\pi]$.  
Решение Ответ: + показать

6.2. (ЕГЭ 2023) а) Решите уравнение:

$sinxcos2x-\sqrt2cos^2x+sinx=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3 \pi }{2};3\pi]$.  

Ответ: + показать


7.1. (ЕГЭ 2023) а) Решите уравнение:

$2sin^3x=\sqrt2 cos^2x+2sinx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\pi;-\frac{5 \pi }{2}]$.  

Решение Ответ: + показать

7.2. (ЕГЭ 2023) а) Решите уравнение:

$2cos^3x=\sqrt3 sin^2x+cosx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-3\pi;-\frac{3 \pi }{2}]$.

Ответ: + показать


8.1. (ЕГЭ 2023, резерв) а) Решите уравнение:

$sin2x+\sqrt2sinx=2sin(\frac{\pi}{2}-x)+\sqrt2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi;\frac{5 \pi }{2}]$.

Решение Ответ: + показать

8.2. (ЕГЭ 2023, резерв) а) Решите уравнение:

$sin2x=2sinx+sin(x+\frac{3\pi}{2})+1$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\pi;-\frac{5 \pi }{2}]$.

Ответ: + показать


9.1. (ЕГЭ 2023, резерв) а) Решите уравнение:

$log_3x\cdot log_3(4x^2-1)=log_3\frac{x(4x^2-1)}{3}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log_52;log_527].$

Решение Ответ: а) $1;3$ б) $1$.

9.2. (ЕГЭ 2023, резерв) а) Решите уравнение:

$log_4x\cdot log_4(\frac{x^2-1}{2})=log_4\frac{x(x^2-1)}{8}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log_34;log_347].$

Ответ: а) $3;4$ б) $3$.


До 2023


-11. (Реальный ЕГЭ, 2021) 

а) Решите уравнение $4cos^3x-2\sqrt3 cos2x+3cosx=2\sqrt3;$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi; 3,5\pi].$ Решение


-10. (Реальный ЕГЭ, 2021) 

а) Решите уравнение $2sin^3x+\sqrt2cos2x+sinx=\sqrt2;$

б) Найдите его корни на промежутке $[-3,5\pi;-2\pi].$ Решение


-9. (Демо ЕГЭ, 2020) 

a) Решите уравнение $2sin(x+\frac{\pi}{3})+cos2x=\sqrt3cosx+1.$
б) Найдите его корни на промежутке $[-3\pi;-1,5\pi]$. Видеорешение


-8. (Реальный ЕГЭ, 2019) 

a) Решите уравнение $cos2x+\sqrt2cos(\frac{\pi}{2}+x)+1=0.$
б) Найдите его корни на промежутке $[2\pi;3,5\pi]$. Решение


-7. (Реальный ЕГЭ, 2019)

a) Решите уравнение $cos2x+sin^2x=\frac{3}{4}.$
б) Найдите его корни на промежутке $[\pi;2,5\pi]$. Решение


-6. (Реальный ЕГЭ, 2018)

a) Решите уравнение $sinx+2sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt 3 sin2x+1.$
б) Найдите его корни на промежутке $[-3,5\pi;-2\pi]$. Решение


-5. (Досрочный резервный ЕГЭ, 2018)

a) Решите уравнение $\frac{sinx}{sin^2\frac{x}{2}}=4cos^2\frac{x}{2}.$
б) Найдите его корни на промежутке $[-\frac{9\pi}{2};-3\pi]$. Решение


-4. (Досрочный ЕГЭ, 2018)

a) Решите уравнение $\sqrt{x^3-4x^2-10x+29}=3-x.$
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-\sqrt3;\sqrt{30}]$. Решение


-3. (Резервный ЕГЭ, 2017)

а) Решите уравнение $log_2(x^2-14x)=5.$

б) Найдите корни уравнения из отрезка $[log_30,1;5\sqrt 10].$ Решение


-2. (Реальный ЕГЭ, 2017)

а) Решите уравнение $8\cdot 16^{cosx}-6\cdot 4^{cosx}+1=0.$

б) Найдите корни уравнения из отрезка $[\frac{3\pi}{2};3\pi].$ Решение


-1. (Реальный ЕГЭ, 2017)

а) Решите уравнение $log_4(2^{2x}-\sqrt3cosx-sin2x)=x.$

б) Найдите корни уравнения из отрезка $[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}].$ Решение


0. (Досрочн. ЕГЭ, 2017)  

а) Решите уравнение $27^x-4\cdot 3^{x+2}+3^{5-x}=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log_74;log_716].$  Решение


1. (Резервн. ЕГЭ, 2016) 

а) Решите уравнение $sin2x+2cos(x-\frac{\pi}{2})=\sqrt3cosx+\sqrt3.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}].$  Решение


2. (ЕГЭ, 2016) 

а) Решите уравнение: $2log_2^2(2sinx)-7log_2(2sinx)+3=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2};2\pi].$  Решение


3. (Т/Р, апрель 2016) 

а) Решите уравнение $\sqrt{2}sin^2(\frac{\pi}{2}+x)=-cosx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{5\pi}{2};-\pi].$ Решение


4. (Досрочн. ЕГЭ, 2016) 

а) Решите уравнение $8^x-7\cdot 4^x-2^{x+4}+112=0;$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log_25;log_211].$ Решение


5. (ЕГЭ, 2015) 

а) Решите уравнение  $2cos2x+4cos(\frac{3\pi}{2}-x)+1=0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[\frac{3\pi}{2};3\pi].$ Решение


6. (Диагностическая, 2015)

а) Решите уравнение $cos2x-3cosx+2=0.$

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}].$ Решение


7. (ДЕМО, 2014)

a) Решите уравнение $cos2x=1-cos(\frac{\pi}{2}-x)$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-\frac{5\pi}{2};-\pi)$. Решение


8. (Диагностическая, 2014)

a) Решите уравнение $\frac{2sin^2x-\sqrt3sinx}{2cosx+1}=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi;\frac{7\pi}{2}].$ Решение


9. (Диагностическая, 2013)

a) Решите уравнение: $4sin^42x+3cos4x-1=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi;\frac{3\pi}{2}].$ Решение


10. (Диагностическая, 2013)

а) $7\cdot 9^{x^2-3x+1}+5\cdot 6^{x^2-3x+1}-48\cdot 4^{x^2-3x}=0$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1; 2]. Решение


11. (ЕГЭ, 2013)

a) Решить уравнение $15^{Cosx}=3^{Cosx}\cdot 5^{Sinx}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[5\pi; \frac{13\pi}{2}]$. Решение


12. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $\sqrt{4cos2x-2sin2x}=2cosx.$

б) Укажите  корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{13\pi}{6};-\frac{\pi}{2}].$

Решение


13. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $\sqrt{1-cos2x}=sin2x.$

б) Укажите  корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{3\pi}{2};0].$ Решение


14. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $sin2x=1+\sqrt2cosx+cos2x.$

б) Укажите  корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;\pi].$ Решение


15. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $\frac{1+\sqrt3}{2}sin2x=(\sqrt3-1)cos^2x+1.$

б) Укажите  корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3\pi}{2};3\pi].$ Решение


16. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $(cos2x-1)^2=10sin^2x-4.$

б) Укажите  корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{6}].$ Решение


17. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $log_{-cosx}(1-0,5sinx)=2.$

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $[14\pi;16\pi].$ Решение


18. (Т/Р А. Ларина) 

a) Решите уравнение $4^{sinx\cdot tgx}\cdot 2^{\frac{1}{cosx}}=8^{tgx}.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу $[2,5\pi; 4\pi].$ Решение


19. (Т/Р А. Ларина) 

a) Решите уравнение $\frac{1-4cosx}{3+4cosx}=tg^2x.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу $[\frac{3\pi}{4}; 3\pi].$ Решение


20. (Т/Р А. Ларина) 

a) Решите уравнение $sinx(4sinx-1)=2+\sqrt3 cosx.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi].$ Решение


21. (Т/Р А. Ларина

a) Решите уравнение $\sqrt{15\cdot 2^{sinx}-4}=3\cdot 2^{sinx}.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\pi; \frac{\pi}{2}].$ Решение


22. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $2015^x+2016\cdot 2015^{1-x}-4031=0$.

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[log_{2017}2016;log_{2016}2017].$ Решение


23. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $sin(134\pi-15x)+sin(90x+\frac{135\pi}{2})=2$.

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку $[-\frac{3\pi}{7};\frac{3\pi}{8}].$ Решение


24. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $sin(133\pi-21x)\cdot sin(14x+\frac{133\pi}{2})=1$.

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{8}).$ Решение


25. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $\frac{sin(2x-132\pi)-cosx-2\sqrt2sinx+\sqrt2}{\sqrt3-tg(132\pi+2x)}=0$.

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку $(-\frac{19\pi}{2};-4\pi].$ Решение


26. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение $\frac{sin2x-2sin^2(\frac{131\pi}{2}+x)}{\sqrt[4]{-sinx}}=0.$

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку $[-\frac{17\pi}{2};-\frac{3\pi}{2}).$ Решение


27. (Т/Р А. Ларина)

Найдите все корни уравнения $sin(2^x)=1,$ удовлетворяющие неравенству $|2^x-1|+|2^x-8|\leq 7.$ Решение


28. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение $\sqrt{tgx}\cdot (2sin^2x-sinx-1)=0.$

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2};2\pi].$ Решение


29. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение $2sin^2x+cos4x=0.$

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-3\pi;-2\pi].$ Решение


30. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение $\frac{1+cos2x+\sqrt2cosx}{1+sinx}=0.$

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3\pi}{2};3\pi].$ Решение


31. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение $5\cdot (\frac{1}{5})^{cos2x}=5^{sin2x}.$

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие интервалу $(-\frac{7\pi}{2};-2\pi).$ Решение


32. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение $\sqrt{sinx+3}=-2sinx.$

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $[0;2\pi].$ Решение


33. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение $2cos^2x-2sin2x+1=0.$

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2};2\pi].$ Решение


34. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение $cos3\pi x+sin\frac{3\pi(x+1)}{2}=4(cos\frac{3\pi x}{2}-1).$

б) Укажите его корни из отрезка $[-7;-3].$ Решение


35. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение $2cos2x+8sinx=5.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{5\pi}{2};5\pi].$ Решение


36. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение $2cos^3x+1=cos^2(\frac{3\pi}{2}-x).$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(-3\pi;-\frac{3\pi}{2}).$ Решение


37. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение $(0,25)^{cos(\frac{3\pi}{2}+x)}=2^{cos2x-1}.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{15\pi}{4};-3\pi].$ Решение


38. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение $tg(1-x)+tg2x=0.$

б) Найдите его корни на отрезке $[2;8].$ Решение


39. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение $\sqrt{sinx\cdot cosx}=-cosx.$

б) Найдите его корни на отрезке $[\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}].$ Решение


40. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение $(1-cos2x)(ctgx-\sqrt3)=3sinx-\sqrt3cosx.$

б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}].$ Решение


41. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение $\frac{2}{4^{sin^2x}}=\frac{4^{sinx}}{2^{2cosx}}.$

б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку $[\frac{3\pi}{2};3\pi].$ Решение


42. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $cos4x-6cos2xcosx-4sin^2x+5=0$.
б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку $[\pi;\frac{5\pi}{2}].$ Решение


43. (Т/Р А. Ларина) 

a) Решите уравнение $cosx+sinx+sin2x+1=0.$

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2};2\pi].$ Решение


44. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение $\frac{ctgx+3}{tg(x+\frac{\pi}{6})}=ctg\frac{5\pi}{6}$.

б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку $[0;\frac{3\pi}{2}].$ Решение


45. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $log_{-cosx}2\cdot log_2(sinx)=2$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{17\pi}{6};\frac{19\pi}{4}]$. Решение


46. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $\frac{2cos^2x+\sqrt3cosx}{2sinx+1}=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[2\pi;\frac{7\pi}{2}).$ Решение


47. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $sin7x-sinx=\sqrt2cos4x.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-3\pi;-2\pi].$ Решение


48. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $25^{cos(\frac{3\pi}{2}+x)}=5^{1-cos2x}.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу  $(-5\pi;-\frac{3\pi}{2}).$ Решение


49. (Т/Р А. Ларина) 

a) Решите уравнение $2sin^2x+cos4x=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{5\pi}{2};3\pi].$ Решение


50. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $\frac{|cosx|}{cosx}+2=2sinx$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[8,5;14,5].$ Решение


51. (Т/Р А. Ларина) 

a) Решите уравнение $\sqrt{sin2x}=\sqrt{\sqrt3cosx}.$

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $[4,5;7,5].$ Решение


52. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $cos2x-\sqrt3sin2x=1.$

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $[4\pi;5,5\pi].$ Решение


53. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $(2cos^2x-3cosx-2)log_3(tgx)=0.$

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2};2\pi]$. Решение


54. (Т/Р А. Ларина) 

a) Решите уравнение $log_{100}(cos2x+cos\frac{x}{2})+log_{\frac{1}{100}}(sinx+cos\frac{x}{2})=0.$

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2};2\pi].$ Решение


55. (Т/Р А. Ларина) 

a) Решите уравнение $\frac{cos6x}{cos2x}+\frac{sin6x}{sin2x}=2cos4x-\sqrt3.$

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $[2;4].$ Решение


56. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $2\sqrt3sin^2(\frac{11\pi}{2}+x)=sin2x.$

б) Укажите его корни из интервала $(-\frac{11\pi}{2};-4\pi).$ Решение


57. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $\frac{1-cos2x-sinx}{cosx-1}=0.$

б) Укажите его корни, принадлежащие интервалу $(\frac{5\pi}{2};5\pi).$ Решение


58. (Т/Р А. Ларина) 

a) Решите уравнение $log_2(2-cosx)=1+2log_2(-sinx)$.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $[\pi;\frac{5\pi}{2}].$ Решение


59. (Т/Р А. Ларина) 

a) Решите уравнение $\sqrt{7-8sinx}=-2cosx$.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{3\pi}{2};2\pi].$ Решение


60. (Т/Р А. Ларина) 

a) Решите уравнение $\sqrt{1+sinx}+cosx=0;$

б) Найдите все корни на промежутке $[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}).$ Решение


61. (Т/Р А. Ларина) 

a) Решите уравнение $\frac{3^{cosx}}{9^{sinxcosx}}=3\cdot 9^{cos(\frac{\pi}{2}+x)};$

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $[\frac{9\pi}{2};6\pi].$ Решение


62. (Т/Р А. Ларина) 

a) Решите уравнение $6tg^2\pi x-\frac{13}{cos\pi x}+8=0.$

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие интервалу $(-5;1).$ Решение


63. (Т/Р А. Ларина) 

a) Решите уравнение $4sin^2x+4cos(\frac{\pi}{2}+x)=3sin\frac{\pi}{2}.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу $(-\frac{3\pi}{2};3\pi).$ Решение


64. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $\sqrt{11-8cos^4x-4sinxcosx}=3sinx+cosx$.

б) Найдите все корни уравнения на отрезке $[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}].$ Решение


65. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $(1+tg^2x)sinx-tg^2x+1=0.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке [− 3;2]. Решение


66. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $sin2x+cosx+2sinx=-1.$

б) Найдите все корни на промежутке (0; 5). Решение


67. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $\sqrt{5sinx+cos2x}+2cosx=0;$
б) Найдите все корни на промежутке $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}]$. Решение


68. (Т/Р А. Ларина) 

а) Решите уравнение $(1+2sinx)sinx=sin2x+cosx$.

б) Найдите все корни на промежутке $[-\frac{3\pi}{2};\pi].$ Решение


69. (Т/Р А. Ларина) 

a) Решите уравнение $1-sin2x=-(sinx+cosx)$,
б) Найдите все корни на промежутке $[-\frac{3\pi}{2};\pi ]$. Решение


70. (Т/Р А. Ларина)  

а) Решите уравнение $2cosx-3\sqrt{2cosx}+2=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-\frac{7\pi}{2};-2\pi]$. Решение


71. (Т/Р А. Ларина)  

Дано уравнение $(2x-2)^2\cdot (x+1)^2-\sqrt2(x^2-1)-6=0.$

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-\sqrt2;\sqrt[3]{4}]$. Решение


72. (Т/Р А. Ларина)  

Дано уравнение $625^x-6\cdot 125^x+9\cdot 25^x=4\cdot 25^x-24\cdot 5^x+36.$

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка $[\frac{1}{3};\frac{1}{2}]$. Решение


 73. (Т/Р А. Ларина)  

Дано уравнение $|cosx+1|=cos2x+2.$

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка $[-\frac{7\pi}{2};-2\pi]$. Решение


 74. (Т/Р А. Ларина)  

Дано уравнение $log_3^2(-tgx)-log_3\sqrt{-tgx}=0.$

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из интервала $(4\pi;\frac{11\pi}{2})$. Решение


 75. (Т/Р А. Ларина)   

Дано уравнение $\frac{cos2x+cosx+1}{sinx-1}=0.$

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка $[-\frac{9\pi}{2};-3\pi]$. Решение


 76. (Т/Р А. Ларина)   

Дано уравнение $sin3x=sin2x+sinx.$

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка $[5\pi; \frac{13\pi}{2}]$. Решение


77. (Т/Р А. Ларина)

 Дано уравнение $sin2x\cdot cos4x=1.$

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка $[2; 4]$. Решение


78. (Т/Р А. Ларина) 

Дано уравнение $(25^{sinx})^{cos2x}=5^{sin(\pi-x)}.$

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка $[-\frac{5\pi}{4}; -\frac{\pi}{4}]$. Решение


79. (Т/Р А. Ларина)  

Дано уравнение $log_{2cos^2x}(3-3sinx)=1.$

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка $[\frac{13\pi}{2}; 8\pi]$. Решение


80. (Т/Р А. Ларина) 

Дано уравнение $9^{sinx\cdot tgx}\cdot 27^{tgx}=(\frac{1}{3})^{\frac{1}{cosx}}.$

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка $[6\pi; 7,5\pi]$. Решение


81. (Т/Р А. Ларина) 

Дано уравнение $(2sinx-\sqrt2)\sqrt{-cosx}=0.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите наибольший отрицательный корень. Решение


82. (Т/Р, 2017) 

а) Решите уравнение $\frac{4^{sin2x}-2^{2\sqrt3sinx}}{\sqrt{7sinx}}=0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{13\pi}{2};-5\pi].$ Решение


 83. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение $log_2(sin2x)+log_{\frac{1}{2}}(-cosx)=\frac{1}{2}.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите решения, принадлежащие промежутку $[-\frac{7\pi}{4};\frac{11\pi}{4}]$. Решение


84. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение $\sqrt{log_{\sqrt x}5x}\cdot log_5x=-2.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите натуральное число $n,$ такое, что  $x_0\in (\frac{lg2}{n+1};\frac{lg2}{n}),$  где $x_0$ – корень уравнения. Решение


85. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение $\frac{sin2x-1+2cosx-sinx}{\sqrt{-sinx}}=0.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{5\pi}{2};4\pi]$. Решение


86. (Т/Р А. Ларина) 

Дано уравнение $2ctg^2x+\frac{3}{sinx}=0.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[16\pi;18\pi]$. Решение


87. (Т/Р А. Ларина) 

Дано уравнение $\frac{2\sqrt 3cos^2x+sinx}{2cosx-1}=0.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\pi;\frac{9\pi}{2}]$. Решение


88. (Т/Р А. Ларина) 

Дано уравнение $\frac{2}{cos(\pi -x)}-tg^2x=1.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}]$. Решение


89. (Т/Р А. Ларина)  

Дано уравнение $4sinx-5\sqrt{2sinx}+3=0.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{5\pi}{2};4\pi ]$. Решение


90. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение $log_2^2(4cos^2x)-8log_2(2cosx)+3=0.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{7\pi}{2};-2\pi ]$. Решение


91. (Т/Р А. Ларина)  

Дано уравнение $sinx=cos(\frac{\pi}{3}-x).$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[4\pi;\frac{16\pi}{3}]$. Решение


92. (Т/Р А. Ларина) 

Дано уравнение $(1-cos2x)sin2x=\sqrt3 sin^2x.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\pi;\frac{\pi}{3}]$.

Решение


93. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение $(2sin^2x-3sinx+1)\sqrt{tgx}=0.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi;\frac{7\pi}{2}]$. Решение


94. (Т/Р А. Ларина) 

Дано уравнение $\frac{1+2sin^2x-\sqrt3sin2x}{2sinx-1}=0.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi;\frac{5\pi}{2}]$. Решение


95. (Т/Р А. Ларина) 

Дано уравнение $(\sqrt{4-\sqrt{15}})^{1+2sinx}+(\sqrt{4+\sqrt{15}})^{1+2sinx}=8.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{9\pi}{2};6\pi]$. Решение


96. (Т/Р А. Ларина) 

Дано уравнение $log_2sinx\cdot log_{sinx}cos^2x=-1.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[4\pi; \frac{11\pi}{2}]$. Решение


97. (Т/Р А. Ларина) 

Дано уравнение $8^x+3=3\cdot 4^x+2^x.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}]$.

Решение


98. (Т/Р А. Ларина) 

Дано уравнение $cos(x+\frac{\pi}{3})+sin(x+\frac{\pi}{6})-cos2x=1.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$. Решение


99. (Т/Р А. Ларина) 

Дано уравнение $4(sin4x-sin2x)=sinx(4cos^23x+3).$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;\frac{3\pi}{2}]$. Решение


100. (Т/Р 283 А. Ларина) 

a) Решите  уравнение $\frac{3^{cos^2x}+3^{sin^2x}-4}{sinx+1}=0;$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{11\pi}{2};7\pi].$ Решение

Задание 19 Пробник 14.12.2023

2024-01-01

В кошельке у Коли было $n$ монет достоинством $2, 5$ или $10$ рублей. Коля сделал несколько покупок, расплатился за каждую покупку отдельно и без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

a) Могли ли покупками быть альбом за $56$ рублей и кисточка за $29$ рублей, если $n=14?$

б) Могли ли покупками быть тетрадь за $10$ рублей, линейка за $15$ рублей и карандаш за $20$ рублей, если $n=19$?

в) Какое наименьшее количество пятирублевых монет могло быть в кошельке, если Коля купил только набор фломастеров за 85 рублей, а $n=24?$

Решение:

а) Да. Например,

$56=5\cdot 10+3\cdot 2$

($5$ монет по $10$ и $3$ монеты по $2$ рубля, итого – $8$ монет)

$29=1\cdot 10+2\cdot 2+3\cdot 5$

($1$ монета по $10$ рублей, $2$ монеты по $2$ рубля и $3$ монеты по $5$ рублей, итого – $6$ монет)

2) Пусть

кол-во 2-х рублевых монет – $m,$

кол-во 5-ти рублевых – $p,$

кол-во 10-ти рублевых – $k.$

Имеем

$2m+5p+10k=45$ при $m+p+k=19.$

Тогда

$2(19-p-k)+5p+10k=45,$


Откуда

$3p+8k=7.$

Если $k\geq 1,$

то

$8k=7-3p\geq 8,$ – противоречие.

Нельзя купить тетрадь за $10$ рублей, линейку за $15$ рублей и карандаш за $20$ рублей, если $n=19.$

3) Имеем

$\begin{cases}m+p+k=24,\\2m+5p+10k=85;&\end{cases}$

$\begin{cases}m+p+k=24,\\2(24-p-k)+5p+10k=85;&\end{cases}$

$\begin{cases}m+p+k=24,\\3p+8k=37;&\end{cases}$

Из $3p+8k=37$ видим: $k\leq 4.$ Найдем наибольшее возможное целое $k,$ ему будет соответствовать наименьшее $p.$

Если $k=4,$ то $3p=5$ – противоречие.

Если $k=3,$ то $3p=13$ – противоречие.

Если $k=2$ то $3p=21,$ откуда $p=7.$

Итак, $7 $ – наименьшее количество пятирублевых монет, которое могло могло быть в кошельке у Коли.

Ответ: а) да; б) нет; в) $7.$

Задание 18 Пробник 14.12.2023

2024-01-01

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

$(a+3)cos^2x+2(a^2+3a)cosx+8a^2+8a-48=0$

имеет хотя бы один корень.

Решение:

$(a+3)cos^2x+2(a^2+3a)cosx+8a^2+8a-48=0;$

$(a+3)cos^2x+2a(a+3)cosx+8(a+3)(a-2)=0;$

$(a+3)(cos^2x+2acosx+8a-16)=0.$

Пусть $cosx=m, |m|\leq 1.$

$(a+3)(m^2-16+2a(m+4))=0$ (*)

Если (*) имеет хотя бы один корень при $|m|\leq 1,$ то и исходное также имеет один корень.

$(a+3)((m-4)(m+4)+2a(m+4))=0;$
$(a+3)(m+4)(m-4+2a)=0.$

$a=-3$ или $m=4-2a$ при $|m|\leq 1.$

Работаем в системе координат $(a;m):$

Устраивают следующие значения $a:$

$a\in${$-3$}$\cup[1,5;2,5].$

Ответ: {$-3$}$\cup[1,5;2,5].$

Задание 16 Пробник 14.12.2023

2024-01-01

Банки «Стабильный» и «Креативный» предлагают своим клиентам открыть вклад сроком на три года без возможности снятия процентов на весь период вклада. В банке «Стабильный» установлена ежегодная ставка 10% годовых.

Банк «Креативный» предлагает ставку 8 % годовых в первый год и $n$% во второй и третий годы вложения денежных средств.

При каком наименьшем целом и вклад в банке «Креативный» будет

выгоднее вклада в банке «Стабильный» при одинаковой сумме первоначального взноса?

Решение:

Пусть сумма первоначального взноса – $x.$

Через три года на вкладе «Стабильный» будет

$1,1^3\cdot x.$

На вкладе «Креативный» к концу первого года будет

$1,08\cdot x,$

ещё через год

$\frac{100+n}{100}\cdot 1,08\cdot x,$

а еще через год

$(\frac{100+n}{100})^2\cdot 1,08\cdot x.$

Нас интересует наименьшее целое $n,$ при котором

$(\frac{100+n}{100})^2\cdot 1,08\cdot x>1,1^3\cdot x;$

$(\frac{100+n}{100})^2\cdot 1,08>1,1^3;$

$(\frac{100+n}{100})^2>\frac{1,1^3}{1,08};$

$108(100+n)^2>1331000;$

$27(100+n)^2>332750.$

Пусть $n=11.$

$27(100+11)^2=332667<332750.$

С ростом $n$ растет сумма вклада «Креативный».

А вот если $n=12,$ то

$27(100+12)^2=338688>332750.$

Итак, наименьшее целое $n,$ при котором вклад «Креативный» выгоднее «Стабильного» через три года, – это $12.$

Ответ: $12.$

Сборник заданий 14 ЕГЭ

2024-01-01



Задание 17 Пробник 14.12.23

2024-01-01

В параллелограмие $ABCD$ со сторонами $AD=12, AB=4$ и углом $A,$ равным 30°, проведены биссектрисы всех четырёх углов.

а) Докажите, что четырёхугольник, ограниченный биссектрисами, прямоугольник.

б) Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

Решение:

а) Пусть биссектрисы соседних углов А и В пересекаются в точке Q.

$\angle A+\angle B=180^{\circ};$

$\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B=90^{\circ}.$

Тогда из треугольника $ABQ$

$\angle Q=180^{\circ}-(\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B)=90^{\circ}.$

Аналогично с биссектрисы соседних углов $A$ и $D,$ $B$ и $C,$ $C$ и $D$ образуют при пересечении прямой угол.

Таким образом, четырехугольник $QEPF$, образованный биссектрисами углов, – прямоугольник.

б) Так как биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник, то $AB=BM=4, BM=BA=4, CR=CD=4, DC=DN=4$ (см. рис.). С учетом $AD=12,$ получаем, что и $MR=TN=4$ (см. рис).

Наблюдаем 8 равных треугольников $\Delta ABQ=\Delta MBQ=…=\Delta TAQ$ (см.рис), обозначим их площадь $S.$

$S_{QEPF}=S_{ABCD}-6S+S_{MER}+S_{TFN}=S_{ABCD}-6S+2S=S_{ABCD}-4S.$

$S_{ABCD}=4\cdot 12\cdot sin 30^{\circ}=24;$

$S_{ABT}=2S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot sin 30^{\circ}=4.$

Итак, $S_{QEPF}=24-8=16.$

Ответ: $16.$

Задание 15 Пробник 14.12.23

2024-01-01

Решите неравенство: $\frac{6}{|x-2|}-\frac{2}{|x+6|}\geq 1.$

Решение:

Перейдем к равносильному неравенству:

$6|x+6|-2|x-2|\geq |x-2||x+6|,x\neq 2, x\neq -6;$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>2,\\6(x+6)-2(x-2)\geq (x-2)(x+6);\end{cases}\\\begin{cases}-6<x<2,\\6(x+6)-2(2-x)\geq (2-x)(x+6);\end{cases}\\\begin{cases}x<-6,\\6(-x-6)-2(2-x)\geq (2-x)(-x-6);\end{cases}\\\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>2,\\6x+36-2x+4\geq x^2+4x-12;\end{cases}\\\begin{cases}-6<x<2,\\6x+36-4+2x\geq -x^2-4x+12;\end{cases}\\\begin{cases}x<-6,\\-6x-36-4+2x\geq x^2+4x-12;\end{cases}\\\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>2,\\x^2-52\leq 0;\end{cases}\\\begin{cases}-6<x<2,\\x^2+12x+20\geq 0;\end{cases}\\\begin{cases}x<-6,\\x^2+8x+28\leq 0;\end{cases}\\\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>2,\\(x-2\sqrt{13})(x+2\sqrt{13})\leq 0;\end{cases}\\\begin{cases}-6<x<2,\\(x+10)(x+2)\geq 0;\end{cases}\\\end{array}\right.$

Ответ: $[-2;2)\cup (2; 2\sqrt{13}].$

Задание 14 Пробник 14.12.23

2023-12-31

Ребро AD пирамиды DABC равно 6, а все остальные рёбра равны 5.

a) Докажите, что прямые AD и ВС перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Задание 13 Пробник 14.12.23

2023-12-31

а) Решите уравнение $\frac{\sqrt3}{4}cos x(sinx+\sqrt2)=(sin^2x+\sqrt2sinx)cos^2x.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2};2\pi].$

Решение: + показать

Сборник заданий 19 ЕГЭ

2023-11-18

2023-09-11

Задание 18, ЕГЭ 2023, резерв

Есть контейнеры массой 7 тонн и массой 2 тонны и корабли грузоподъемностью 10 тонн.

а)  Можно ли увезти за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 14 кораблях?

б)  Можно ли увезти за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 12 кораблях?

в)  На каком наименьшем количестве кораблей можно увести за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 77 контейнеров массой 2 тонны?

Решение:

б) 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 12 кораблях грузоподъемностью 10 тонн увезти за один раз нельзя, так как суммарная масса контейнеров – $11\cdot 7+22\cdot 2=121$ тонны, а общая грузоподъемность 12 кораблей – $12\cdot 10=120$ тонн.

а) 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 14 кораблях увезти можно, например, так:

1 контейнер 7 тонн + 1 контейнер 2 тонны – таких 11 кораблей;

5 контейнеров по 2 тонны – таких 2 корабля;

1 контейнер 2 тонны – такой 1 корабль.

в) На один корабль не получится загрузить более 1-го контейнера 7 тонн. Поэтому, как минимум, потребуется 11 кораблей.
Далее, в каждый из 11 указанных выше кораблей мы не можем разместить более одного контейнера 2 тонны, поэтому у нас после загрузки 11 кораблей, остается для погрузки как минимум, 66 контейнеров по 2 тонны. Собственно, остается выяснить, какое минимальное количество кораблей потребуется для погрузки 66 контейнеров по 2 тонны. Мы можем по максимуму (по 5 контейнеров) загрузить 13 кораблей. Остается непогруженным 1 контейнер 2 тонны. Для него потребуется еще один корабль.
Итак, наименьшее количество кораблей для перевозки указанного груза, – 25.

Ответ: а) да; б) нет; в) 25.

Задание 18 ЕГЭ 2023

2023-09-11

В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 21%.

а)  Может ли в этом классе быть 5 девочек?

б)  Может ли доля девочек составить 30%, если в этот класс придёт новая девочка?

в)  В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Решение:

а) Да, в классе может быть 5 девочек, если мальчиков, например, 20.

Действительно,

$\frac{5}{5+20}=\frac{1}{5}=20$%$<21$%.

б) Пусть девочек было $d,$ мальчиков – $m.$

Тогда $\frac{d+1}{m+d+1}=0,3,$ откуда

$10d+10=3m+3d+3;$

$7(d+1)=3m$ (*)

Из условия $\frac{d}{m+d}<21$% имеем:

$100d<21m+21d;$

$79d<21m$ (**)

Тогда с учетом (*):

$49(d+1)=21m>79d,$

то есть

$49d+49>79d;$

$d<\frac{49}{30};$

$d\leq 1.$

Но в этом случае равенство (*) не выполняется. Действительно, – $m=\frac{7(d+1)}{3}$ – не натурально при $d\leq 1.$

в) Учитывая $m+d\leq 26$ и (**), получаем:

$\frac{79d}{21}+d\leq 26;$

$d\leq 5.$

Новый процент девочек: $p=\frac{(d+1)\cdot 100}{m+d+1}.$

Пусть $d=5$. Тогда из (**) $m>\frac{79\cdot 5}{21}\geq 19$ и $p=\frac{600}{m+6}\leq \frac{600}{25}=24<25.$

Пусть $d=4$. Тогда $m>\frac{79\cdot 4}{21}\geq 16$ и $p=\frac{500}{m+5}\leq \frac{500}{21}<25.$

Пусть $d=3$. Тогда $m>\frac{79\cdot 3}{21}\geq 12$ и $p=\frac{400}{m+4}\leq \frac{400}{16}=25.$

Пусть $d=2$. Тогда $m\geq 9,$ так как $m+d>10$ и $p=\frac{300}{12}=25.$

Пусть $d=1$. Тогда $m\geq 10$ и $p=\frac{200}{11}<25.$

Итак, наибольшее число процентов, что может составить доля девочек в классе после прихода одной девочки, – 25%. Достигается, например, если в классе было 2 девочки и 9 мальчиков.

Ответ: а) да; б) нет; в) 25.

2023-09-10

Задание 18 ЕГЭ 2023

Дана правильная несократимая дробь $\frac{a}{b}.$ За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель на два числителя, т. е. получить несократимую дробь $\frac{a+b}{b+2a}.$

а)  Можно ли из дроби $\frac{2}{3}$ получить дробь $\frac{29}{41}$?

б)  Можно ли из некоторой дроби получить дробь $\frac{6}{7}$ за 2 хода.

в)  Дробь  $\frac{c}{d}$ больше  $\frac{7}{10}.$ Найдите минимальную дробь $\frac{c}{d},$ которую нельзя получить из другой правильной несокращаемой дроби за 2 хода.

Решение:

а) $\frac{2}{3}\to \frac{2+3}{3+2\cdot 2}=\frac{5}{7}\to \frac{5+7}{7+2\cdot 5}=\frac{12}{17}\to \frac{12+17}{17+2\cdot 17}=\frac{29}{41}.$

б) Так как $\frac{a}{b}\to \frac{a+b}{b+2a}\to \frac{3a+2b}{4a+3b},$ то

$\frac{6}{7}=\frac{3a+2b}{4a+3b},$

откуда

$24a+18b=21a+14b;$

$3a+4b=0,$

что невозможно для натуральных $a,b.$

в) Пусть $0,7<x=\frac{3a+2b}{4a+3b}.$

Тогда

$4ax+3bx=3a+2b;$

$a(4x-3)=b(2-3x);$

$\frac{a}{b}=\frac{2-3x}{4x-3}$ или $\frac{a}{b}=\frac{3x-2}{3-4x}.$

Останавливаемся, очевидно, на втором варианте, где $x\in (\frac{2}{3};\frac{3}{4}).$

Имеем: $x\in (0,7;0,75).$

Следует учесть также, что дробь $\frac{a}{b}$ правильная, то есть

$3x-2<3-4x,$

откуда

$x<\frac{5}{7}.$

Итак, $0,7<x<\frac{5}{7}.$

Если $x=\frac{5}{7},$ то $\frac{a}{b}=\frac{3\cdot \frac{5}{7}-2}{3-4\cdot \frac{5}{7}}=1,$ что невозможно.

Каждый $x\in (0,7;\frac{5}{7})$ мы можем получить из другой правильной несокращаемой дроби за 2 хода, a $x=\frac{5}{7}$ нет.

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{5}{7}.$

Задание 18 ЕГЭ 2023

2023-09-10

ЕГЭ 2023, резерв

Квадратное уравнение $x^2-px+q=0$  с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня.

а)  Найдите все возможные значения p, если q  =  5.

б)  Могут ли одновременно выполняться неравенства p  <  10 и q  >  30?

в)  Найдите наименьшее значение p при q  >  30.

Решение:

а) Так как $x_1\cdot x_2=5,x_1\in N,x_2\in N, $ то корнями $x_1,x_2$ могут быть только числа 1 и 5. Тогда $q=x_1+x_2=6.$

б) Допустим, неравенства p  <  10 и q  >  30 выполняются.
Заметим,

$p=x_1+x_2\geq2\sqrt{x_1x_2}>2\sqrt{30}=\sqrt{120}>10.$

Итак, $p>10,$ что противоречит допустимому условию $p<10.$

Указанные в условии неравенства одновременно выполняться не могут.

в) $q>30,$ тогда, учитывая, что $q\in N,$ получаем $q\geq 31.$

Имеем:

$p=x_1+x_2\geq2\sqrt{x_1x_2}\geq 2\sqrt{31}=\sqrt{124}>11.$

Итак, $p>11.$

Пусть $p=12.$ Попробуем подобрать $q>30$ из натуральных значений.

$x^2-12x+q=0;$

$x=6\pm\sqrt{36-q}.$

Возьмем на роль $q,$ например, $32.$
Тогда $x_1=8,x_2=4$ (при этом $p=12$).

Ответ: а) 6; б) нет; в) 12.